Justifique si los siguientes enunciados son verdaderos (V) o falsos (F):

a. Los vectores 𝑢⃗ = 2𝑖 + 3𝑗 y 𝑣 = −6𝑖 + 4𝑗 − 3𝑘 son vectores ortogonales
b. Sea 𝑢⃗ = −𝑖 − 3𝑗 + 4𝑘 y 𝑣 = −4𝑖 + 6𝑗 + 2𝑘.EL valor de 6𝑢⃗ − 3𝑣 es -7

### Enunciado a:  
Los vectores \(\mathbf{u} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j}\) y \(\mathbf{v} = -6\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k}\) son ortogonales.

Para determinar si dos vectores son ortogonales, su **producto escalar** debe ser igual a 0. El producto escalar se calcula como:

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (2)(-6) + (3)(4) + (0)(-3)
\]

Realizando las operaciones:

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = -12 + 12 + 0 = 0
\]

Dado que el producto escalar es 0, los vectores **son ortogonales**.

**Resultado:** Verdadero (V)

---

### Enunciado b:
Sea \(\mathbf{u} = -\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k}\) y \(\mathbf{v} = -4\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 2\mathbf{k}\). Se nos pide calcular \(6\mathbf{u} - 3\mathbf{v}\) y verificar si su resultado es \(-7\).

Primero, calculemos \(6\mathbf{u}\) y \(3\mathbf{v}\).

\[
6\mathbf{u} = 6(-\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k}) = -6\mathbf{i} - 18\mathbf{j} + 24\mathbf{k}
\]

\[
3\mathbf{v} = 3(-4\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = -12\mathbf{i} + 18\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]

Ahora restamos los dos resultados:

\[
6\mathbf{u} - 3\mathbf{v} = (-6\mathbf{i} - 18\mathbf{j} + 24\mathbf{k}) - (-12\mathbf{i} + 18\mathbf{j} + 6\mathbf{k})
\]

Distribuyendo los signos:

\[
6\mathbf{u} - 3\mathbf{v} = -6\mathbf{i} + 12\mathbf{i} - 18\mathbf{j} - 18\mathbf{j} + 24\mathbf{k} - 6\mathbf{k}
\]

Simplificamos:

\[
6\mathbf{u} - 3\mathbf{v} = (6\mathbf{i}) + (-36\mathbf{j}) + (18\mathbf{k})
\]

El resultado es el vector:

\[
6\mathbf{u} - 3\mathbf{v} = 6\mathbf{i} - 36\mathbf{j} + 18\mathbf{k}
\]

Claramente, este vector **no es igual a -7**, ya que es un vector y no un número escalar.

**Resultado:** Falso (F)

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se define el producto escalar entre dos vectores?
2. ¿Qué condiciones se deben cumplir para que dos vectores sean ortogonales?
3. ¿Cuál es la relación entre la magnitud de un vector y su dirección?
4. ¿Cómo se realizan operaciones básicas con vectores como la suma y resta?
5. ¿Qué importancia tiene el cálculo de vectores en la física y geometría?

### Tip:
Recuerda que dos vectores son ortogonales si su producto escalar es igual a cero.

Justifique si los siguientes enunciados son verdaderos (V) o falsos (F):
a. Los vectores 𝑢⃗ = 2𝑖 + 3𝑗 y 𝑣 = −6𝑖 + 4𝑗 − 3𝑘 son vectores ortogonales
b. Sea 𝑢⃗ = −𝑖 − 3𝑗 + 4𝑘 y 𝑣 = −4𝑖 + 6𝑗 + 2𝑘.EL valor de 6𝑢⃗ − 3𝑣 es -7

This problem explores vector orthogonality using the dot product and scalar multiplication of vectors. Learn how to verify if two vectors are orthogonal and solve a vector equation involving 6u - 3v. Suitable for students in Grades 11-12.

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