https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1726023904705fmjfgyia.pdf

Berikut adalah jawaban untuk latihan soal aljabar linear yang Anda berikan:

### Soal 1:
**Diberikan** \( \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \) dan \( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} x \\ x+1 \end{bmatrix} \). Tentukan nilai \( x \) agar:

(a) \( \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} \)

Untuk menyelesaikan:
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x \\ x+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + x \\ -3 + (x+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}
\]
Sehingga persamaan:
\[
2 + x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]
\[
-3 + x + 1 = -1 \quad \Rightarrow \quad -2 + x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

**Jawaban:** \( x = 1 \)

(b) \( \mathbf{b} \) menjadi vektor satuan.

Untuk menjadi vektor satuan, panjang vektor \( \mathbf{b} \) harus sama dengan 1:
\[
|\mathbf{b}| = 1
\]
\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{x^2 + (x+1)^2} = 1
\]
\[
\sqrt{x^2 + (x^2 + 2x + 1)} = 1
\]
\[
\sqrt{2x^2 + 2x + 1} = 1
\]
Kuadratkan kedua sisi:
\[
2x^2 + 2x + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x(x+1) = 0
\]
Solusi dari persamaan ini:
\[
x = 0 \quad \text{atau} \quad x = -1
\]

**Jawaban:** \( x = 0 \) atau \( x = -1 \)

(c) \( \mathbf{a} \) dan \( \mathbf{b} \) ortogonal.

Dua vektor ortogonal jika hasil dot product-nya adalah 0:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
\]
\[
\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ x+1 \end{bmatrix} = 2x + (-3)(x+1) = 0
\]
\[
2x - 3(x+1) = 0
\]
\[
2x - 3x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad -x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3
\]

**Jawaban:** \( x = -3 \)

---

### Soal 2:
Tentukan besar sudut di antara vektor \( \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} \) dan \( \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ -9 \end{bmatrix} \).

Untuk menghitung sudut antara dua vektor, kita gunakan rumus:
\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|}
\]
Hitung dot product:
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (-1)(3) + (-2)(6) + (3)(-9) = -3 - 12 - 27 = -42
\]
Hitung magnitudo masing-masing vektor:
\[
|\mathbf{u}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}
\]
\[
|\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 36 + 81} = \sqrt{126}
\]
Sehingga:
\[
\cos \theta = \frac{-42}{\sqrt{14} \times \sqrt{126}} = \frac{-42}{\sqrt{1764}} = \frac{-42}{42} = -1
\]
Karena \( \cos \theta = -1 \), maka sudut \( \theta = 180^\circ \).

**Jawaban:** Sudut antara kedua vektor adalah \( 180^\circ \).

---

### Soal 3:
Tentukan dekomposisi vektor ortogonal dari vektor \( \mathbf{t} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} \) sepanjang vektor \( \mathbf{r} = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \).

Dekomposisi ortogonal dari vektor \( \mathbf{t} \) sepanjang \( \mathbf{r} \) menggunakan proyeksi:
\[
\text{proj}_{\mathbf{r}} \mathbf{t} = \frac{\mathbf{t} \cdot \mathbf{r}}{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}} \mathbf{r}
\]
Hitung dot product:
\[
\mathbf{t} \cdot \mathbf{r} = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 8 + 1 + 6 = 15
\]
\[
\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = (4)^2 + (-1)^2 + (2)^2 = 16 + 1 + 4 = 21
\]
Sehingga:
\[
\text{proj}_{\mathbf{r}} \mathbf{t} = \frac{15}{21} \mathbf{r} = \frac{5}{7} \mathbf{r}
\]
\[
\text{proj}_{\mathbf{r}} \mathbf{t} = \frac{5}{7} \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{20}{7} \\ -\frac{5}{7} \\ \frac{10}{7} \end{bmatrix}
\]

**Jawaban:** Proyeksi ortogonal dari \( \mathbf{t} \) sepanjang \( \mathbf{r} \) adalah \( \begin{bmatrix} \frac{20}{7} \\ -\frac{5}{7} \\ \frac{10}{7} \end{bmatrix} \).

---

### Soal 4:
Periksa apakah himpunan vektor berikut bergantung linear atau bebas linear:

(a) \( V = \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 8 \\ -12 \\ 4 \end{bmatrix} \right\} \)

Kedua vektor ini linier bergantung karena \( \mathbf{v}_2 = -4 \mathbf{v}_1 \).

**Jawaban:** Linier bergantung.

(b) \( V = \left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \)

Karena tidak ada kombinasi linear yang menghasilkan vektor nol, ketiga vektor ini bebas linear.

**Jawaban:** Bebas linear.

(c) \( V = \left\{ \begin{bmatrix} 4 \\ 10 \\ -6 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} \right\} \)

Kedua vektor ini bebas linear karena tidak ada kombinasi skalar yang membuat salah satu vektor menjadi kelipatan dari yang lain.

**Jawaban:** Bebas linear.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai salah satu solusi?  
Berikut 5 pertanyaan yang berhubungan:
1. Bagaimana menentukan apakah dua vektor ortogonal?
2. Apa hubungan antara proyeksi ortogonal dan panjang vektor?
3. Bagaimana cara menentukan sudut antara dua vektor dalam dimensi tiga?
4. Apa metode lain untuk memeriksa ketergantungan linear pada himpunan vektor?
5. Apa perbedaan antara vektor satuan dan vektor bebas linear?

**Tip:** Dalam menghitung dot product dua vektor, ingat bahwa jika hasilnya nol, vektor-vekto tersebut pasti ortogonal.

Solve vector problems involving the addition of vectors, orthogonality, unit vector determination, and the concept of linear dependence. This problem set covers vector algebra concepts, such as the dot product and projections. Suitable for Grades 10-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation