Resolución de problemas básicos de vectores en el espacio. 
Considere los vectores 𝒗⃗ y 𝒘⃗ correspondientes al literal escogido. Ahora, proceda a calcular: 
• La suma 𝒖⃗ = 𝒗⃗ + 𝒘⃗ .
 • La magnitud (o norma) de 𝒖⃗ . 
• El vector unitario en la dirección de 𝒖⃗ .
 • El ángulo formado por los vectores 𝒗⃗ y 𝒘⃗⃗⃗. 
• Realice la comprobación utilizando GeoGebra u otro programa computacional similar
v ⃗=(3,4,-1)y w ⃗=(2,-3,5)


Vamos a resolver el problema de vectores en el espacio para los vectores dados \( \vec{v} = (3, 4, -1) \) y \( \vec{w} = (2, -3, 5) \).

### 1. **Suma de los vectores \( \vec{u} = \vec{v} + \vec{w} \):**

La suma de dos vectores se calcula sumando sus componentes correspondientes. 

\[
\vec{u} = \vec{v} + \vec{w} = (3, 4, -1) + (2, -3, 5) = (3+2, 4-3, -1+5) = (5, 1, 4)
\]

Por lo tanto, \( \vec{u} = (5, 1, 4) \).

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### 2. **Magnitud o norma de \( \vec{u} \):**

La magnitud de un vector \( \vec{u} = (u_x, u_y, u_z) \) se calcula con la fórmula:

\[
||\vec{u}|| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}
\]

Sustituyendo las componentes de \( \vec{u} \):

\[
||\vec{u}|| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}
\]

Por lo tanto, \( ||\vec{u}|| = \sqrt{42} \approx 6.48 \).

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### 3. **Vector unitario en la dirección de \( \vec{u} \):**

El vector unitario \( \hat{u} \) en la dirección de \( \vec{u} \) se calcula dividiendo cada componente de \( \vec{u} \) por la magnitud \( ||\vec{u}|| \):

\[
\hat{u} = \frac{\vec{u}}{||\vec{u}||} = \left( \frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{1}{\sqrt{42}}, \frac{4}{\sqrt{42}} \right)
\]

Aproximando cada valor:

\[
\hat{u} \approx \left( \frac{5}{6.48}, \frac{1}{6.48}, \frac{4}{6.48} \right) \approx (0.772, 0.154, 0.617)
\]

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### 4. **Ángulo entre \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \):**

El ángulo \( \theta \) entre dos vectores \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) se calcula usando el producto punto:

\[
\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}||}
\]

Primero, calculamos el producto punto \( \vec{v} \cdot \vec{w} \):

\[
\vec{v} \cdot \vec{w} = (3)(2) + (4)(-3) + (-1)(5) = 6 - 12 - 5 = -11
\]

Luego, las magnitudes de \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \):

\[
||\vec{v}|| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26}
\]

\[
||\vec{w}|| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}
\]

Ahora, calculamos \( \cos \theta \):

\[
\cos \theta = \frac{-11}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{38}} = \frac{-11}{\sqrt{988}} = \frac{-11}{31.44} \approx -0.35
\]

Finalmente, calculamos el ángulo \( \theta \):

\[
\theta = \cos^{-1}(-0.35) \approx 110.5^\circ
\]

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### 5. **Comprobación con GeoGebra u otro software:**

Para verificar estos resultados, puedes ingresar los vectores \( \vec{v} = (3, 4, -1) \) y \( \vec{w} = (2, -3, 5) \) en GeoGebra o cualquier software de álgebra vectorial. El programa puede calcular automáticamente la suma, la magnitud, y el ángulo entre los vectores.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el producto cruz de dos vectores en el espacio tridimensional?
2. ¿Qué interpretación geométrica tiene la magnitud de un vector?
3. ¿Qué relación existe entre el producto punto y el ángulo entre dos vectores?
4. ¿Cómo se normaliza un vector en el espacio tridimensional?
5. ¿Qué sucede si el ángulo entre dos vectores es \(0^\circ\) o \(180^\circ\)?

**Tip:** La magnitud de un vector representa la longitud o el tamaño del vector en el espacio.

Resolución de problemas básicos de vectores en el espacio. Considere los vectores 𝒗⃗ y 𝒘⃗ correspondientes al literal escogido. Ahora, proceda a calcular: • La suma 𝒖⃗ = 𝒗⃗ + 𝒘⃗ . • La magnitud (o norma) de 𝒖⃗ . • El vector unitario en la dirección de 𝒖⃗ . • El ángulo formado por los vectores 𝒗⃗ y 𝒘⃗⃗⃗. • Realice la comprobación utilizando GeoGebra u otro programa computacional similar v ⃗=(3,4,-1)y w ⃗=(2,-3,5)

Learn how to solve vector problems involving the sum, magnitude, unit vector, and angle between vectors v = (3, 4, -1) and w = (2, -3, 5). This guide covers key vector operations, including the dot product and vector magnitude calculations. Suitable for students in Grades 10-12.

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