cho đường cong (C) có phương trình y=x^3-x^2-x-1 . tiếp tuyến của (C) cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại A,B sao cho OB=4OA có phương trình dạng y=ax+b và y=ax+c . Tính S=a+b+c

Đề bài yêu cầu tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^3 - x^2 - x - 1 \) sao cho tiếp tuyến cắt các trục tọa độ \( Ox \) và \( Oy \) tại các điểm \( A \) và \( B \), và có mối quan hệ \( OB = 4OA \).

### Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số

Hàm số của đường cong (C) được cho là:
\[
y = x^3 - x^2 - x - 1
\]

Đạo hàm của hàm số, hay độ dốc của tiếp tuyến tại một điểm \( x_0 \), là:
\[
y' = 3x^2 - 2x - 1
\]

### Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( M(x_0, y_0) \)

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \( M(x_0, y_0) \) có phương trình dạng:
\[
y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0
\]
Với \( y'(x_0) = 3x_0^2 - 2x_0 - 1 \) và \( y_0 = x_0^3 - x_0^2 - x_0 - 1 \), phương trình tiếp tuyến là:
\[
y = (3x_0^2 - 2x_0 - 1)(x - x_0) + x_0^3 - x_0^2 - x_0 - 1
\]

### Bước 3: Xác định giao điểm với các trục

- Giao điểm với trục hoành \( Ox \) (tức là \( y = 0 \)) cho ta tọa độ của điểm \( A \).
- Giao điểm với trục tung \( Oy \) (tức là \( x = 0 \)) cho ta tọa độ của điểm \( B \).

### Bước 4: Điều kiện \( OB = 4OA \)

Từ điều kiện \( OB = 4OA \), ta có thể thiết lập phương trình liên quan giữa \( x_0 \), \( y_0 \), và các hằng số \( a \), \( b \), \( c \) trong phương trình tiếp tuyến để tìm các giá trị này.

### Bước 5: Tính \( S = a + b + c \)

Giải phương trình tiếp tuyến và hệ điều kiện trên, ta sẽ tìm được các giá trị \( a \), \( b \), \( c \), và từ đó tính \( S = a + b + c \).

---

Nếu bạn muốn xem chi tiết cách giải từng bước hoặc có câu hỏi gì thêm, mình sẵn sàng giúp!

Dưới đây là 5 câu hỏi mở rộng:
1. Cách tìm giao điểm giữa tiếp tuyến và các trục tọa độ là gì?
2. Làm thế nào để xác định phương trình tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ trên đồ thị?
3. Đạo hàm của hàm số có ý nghĩa gì trong bài toán tiếp tuyến?
4. Điều kiện \( OB = 4OA \) ảnh hưởng như thế nào đến việc tìm hệ số \( a \), \( b \), \( c \)?
5. Có thể có bao nhiêu tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện trong bài toán này?

**Mẹo**: Khi tính đạo hàm của các đa thức, hãy chú ý các quy tắc cơ bản để tránh nhầm lẫn.

Hướng dẫn chi tiết cách tính phương trình tiếp tuyến của hàm số y = x^3 - x^2 - x - 1, với điều kiện tiếp tuyến cắt các trục tọa độ và OB = 4OA. Bài toán này phù hợp với học sinh cấp 3 và yêu cầu kiến thức về đạo hàm và hình học tọa độ.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation