
Ejercicio 4. Operaciones entre matrices.
 
Considere las siguientes matrices

A=(■(1&-4&-4@2&2&0@-1&1&2));     B=(■(6&-1@4&5@3&-4));   C=(■(3&4&6@1&-2&0));  D=(■(6&7&0@3&-2&4@0&-1&0)).


Realice las operaciones algebraicas correspondientes según el literal seleccionado y obtenga la matriz U. Luego, realice el producto U.v ⃗, donde U es la matriz obtenida en el ítem anterior y el vector se representa como columna v ⃗=〖(4,3,-5)〗^T. Finalmente realice la comprobación utilizando GeoGebra u otro programa computacional similar


	U=(6B).(-4C)+(A.D)^T


Para resolver este problema, necesitamos realizar una serie de operaciones matriciales que consisten en multiplicación de matrices, transposición y suma. Luego, aplicaremos estas operaciones a las matrices dadas para obtener la matriz \( U \). Finalmente, calcularemos el producto de \( U \) con el vector columna \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} \).

Aquí están los pasos para resolver este ejercicio:

### Paso 1: Definir las matrices
Dado el problema, las matrices son:

\[
A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 \\ 2 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 4 & 5 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}
\]
\[
C = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 6 & 7 & 0 \\ 3 & -2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Multiplicar \( 6B \)
Multiplicamos la matriz \( B \) por 6:
\[
6B = 6 \times \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 4 & 5 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 36 & -6 \\ 24 & 30 \\ 18 & -24 \end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Multiplicar \( -4C \)
Multiplicamos la matriz \( C \) por \(-4\):
\[
-4C = -4 \times \begin{pmatrix} 3 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 & -16 & -24 \\ -4 & 8 & 0 \end{pmatrix}
\]

### Paso 4: Calcular el producto \( A \cdot D \)
Multiplicamos las matrices \( A \) y \( D \) (producto de matrices):
\[
A \cdot D = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 \\ 2 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 & 7 & 0 \\ 3 & -2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
El resultado de esta multiplicación es una nueva matriz de 3x3. Vamos a calcularla paso por paso:

\[
A \cdot D = \begin{pmatrix} (1)(6) + (-4)(3) + (-4)(0) & (1)(7) + (-4)(-2) + (-4)(-1) & (1)(0) + (-4)(4) + (-4)(0) \\ 
(2)(6) + (2)(3) + (0)(0) & (2)(7) + (2)(-2) + (0)(-1) & (2)(0) + (2)(4) + (0)(0) \\
(-1)(6) + (1)(3) + (2)(0) & (-1)(7) + (1)(-2) + (2)(-1) & (-1)(0) + (1)(4) + (2)(0) \end{pmatrix}
\]

\[
= \begin{pmatrix} 6 - 12 + 0 & 7 + 8 + 4 & 0 - 16 + 0 \\ 
12 + 6 + 0 & 14 - 4 + 0 & 0 + 8 + 0 \\
-6 + 3 + 0 & -7 - 2 - 2 & 0 + 4 + 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -6 & 19 & -16 \\ 18 & 10 & 8 \\ -3 & -11 & 4 \end{pmatrix}
\]

### Paso 5: Transponer \( (A \cdot D)^T \)
Transponemos la matriz \( A \cdot D \):
\[
(A \cdot D)^T = \begin{pmatrix} -6 & 18 & -3 \\ 19 & 10 & -11 \\ -16 & 8 & 4 \end{pmatrix}
\]

### Paso 6: Sumar las matrices
Ahora, sumamos las matrices \( 6B \cdot (-4C) + (A \cdot D)^T \). Pero primero, tenemos que asegurarnos de que las dimensiones coincidan. Como \( 6B \) es una matriz de \( 3 \times 2 \), y \( -4C \) también es de \( 2 \times 3 \), no podemos simplemente sumarlas. Debemos verificar cómo acomodar esto.

Ejercicio 4. Operaciones entre matrices. Considere las siguientes matrices A=(■(1&-4&-4@2&2&0@-1&1&2)); B=(■(6&-1@4&5@3&-4)); C=(■(3&4&6@1&-2&0)); D=(■(6&7&0@3&-2&4@0&-1&0)). Realice las operaciones algebraicas correspondientes según el literal seleccionado y obtenga la matriz U. Luego, realice el producto U.v ⃗, donde U es la matriz obtenida en el ítem anterior y el vector se representa como columna v ⃗=〖(4,3,-5)〗^T. Finalmente realice la comprobación utilizando GeoGebra u otro programa computacional similar U=(6B).(-4C)+(A.D)^T

Solve matrix operations involving matrices A, B, C, and D with scalar multiplication, transposition, and matrix products. Learn how to compute the final matrix U and multiply it by the vector v⃗ = (4,3,-5)ᵀ. This solution includes step-by-step algebraic operations, suitable for undergraduate students.

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