En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es:
f´(t)=e^3t-8t, donde t está dada en años ¿Cuántas lluvias habrá entre t=3 y t=7?

La función que nos da la tasa de crecimiento de las lluvias es \( f'(t) = e^{3t} - 8t \), lo que significa que la cantidad total de lluvias en un intervalo de tiempo dado se puede obtener integrando esta función.

El problema nos pide encontrar cuántas lluvias habrá entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \). Para esto, debemos integrar la función \( f'(t) \) en ese intervalo:

\[
\int_3^7 \left( e^{3t} - 8t \right) \, dt
\]

Vamos a resolver esta integral.

1. Para \( e^{3t} \), usamos la regla de integración para una exponencial, que es \( \frac{e^{kt}}{k} \) para una constante \( k \).
2. Para \( -8t \), usamos la regla de integración para un polinomio, \( \frac{t^n}{n+1} \).

Voy a calcularla.El resultado de la integral es:

\[
\frac{e^{21}}{3} - \frac{e^9}{3} - 160
\]

Este valor representa la cantidad de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \). Para obtener un valor numérico aproximado, puedo calcular la expresión. Permíteme hacerlo.El valor numérico aproximado de la cantidad de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \) es de **439,602,384** lluvias.

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se interpreta la tasa de crecimiento en este contexto?
2. ¿Qué ocurre con la cantidad de lluvias si integramos sobre un intervalo más amplio?
3. ¿Cómo cambia la integral si el término exponencial tiene una constante diferente?
4. ¿Cómo afectaría una tasa de crecimiento negativa a la cantidad total de lluvias?
5. ¿Qué otras aplicaciones tiene la integración de tasas de crecimiento en fenómenos naturales?

**Tip:** La integración de una derivada nos devuelve la función original (más una constante), lo que es útil para calcular cantidades acumuladas en un intervalo.

En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es: f´(t)=e^3t-8t, donde t está dada en años. ¿Cuántas lluvias habrá entre t=3 y t=7?

Descubre cómo calcular la cantidad de lluvias entre los años t = 3 y t = 7 mediante la integración de la función de tasa de crecimiento f'(t) = e^(3t) - 8t. Este problema abarca conceptos avanzados de cálculo como la integración de funciones exponenciales y polinómicas.

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