En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es:
f´(t)=e^3t-8t, donde t está dada en años.
¿Cuántas lluvias habrá entre t=3 y t=7?

Para resolver el problema, necesitamos encontrar cuántas lluvias habrá entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \). Esto lo logramos integrando la función de la tasa de crecimiento de lluvias \( f'(t) = e^{3t} - 8t \) entre los límites de tiempo dados.

La cantidad total de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \) está dada por la integral de \( f'(t) \) en ese intervalo:

\[
\int_3^7 f'(t) \, dt = \int_3^7 \left( e^{3t} - 8t \right) \, dt
\]

Ahora procedemos a calcular esa integral.

### Paso 1: Integrar \( e^{3t} \)
\[
\int e^{3t} \, dt = \frac{e^{3t}}{3}
\]

### Paso 2: Integrar \( -8t \)
\[
\int -8t \, dt = -4t^2
\]

### Paso 3: Evaluar la integral definida
Entonces, la integral completa es:

\[
\int_3^7 \left( e^{3t} - 8t \right) \, dt = \left[ \frac{e^{3t}}{3} - 4t^2 \right]_3^7
\]

Evaluemos esta expresión en los límites \( t = 7 \) y \( t = 3 \).

\[
\left( \frac{e^{3(7)}}{3} - 4(7)^2 \right) - \left( \frac{e^{3(3)}}{3} - 4(3)^2 \right)
\]

Ahora lo calculo numéricamente.El número total de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \), calculado con la función dada, es aproximadamente \( 439,602,384 \) (cifra muy grande debido al crecimiento exponencial en la tasa de lluvias).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas que podrían interesarte:
1. ¿Cómo se comporta la cantidad de lluvias a medida que \( t \) crece más allá de 7 años?
2. ¿Cómo afecta el término exponencial \( e^{3t} \) al crecimiento de la cantidad de lluvias?
3. ¿Qué sucede con la cantidad de lluvias si se modifica la tasa de crecimiento a \( f'(t) = e^{2t} - 5t \)?
4. ¿Qué interpretación física se puede dar a la integración en este tipo de problemas?
5. ¿Qué importancia tiene la función de crecimiento exponencial en fenómenos naturales?

**Tip:** Para problemas de tasas de cambio, la integración te permite encontrar la cantidad acumulada de un fenómeno (como lluvias) durante un intervalo de tiempo dado.

En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es: f´(t)=e^3t-8t, donde t está dada en años. ¿Cuántas lluvias habrá entre t=3 y t=7?

Resuelve el problema de integración para calcular cuántas lluvias habrá entre t=3 y t=7, usando la tasa de crecimiento f'(t) = e^{3t} - 8t. Aprende a integrar funciones exponenciales y polinomiales en este ejercicio de cálculo avanzado. Adecuado para estudiantes de primeros cursos de cálculo en la universidad.

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