Lee y analiza el siguiente planteamiento, con cada paso desglosado 

En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es:

f′(t)=e^3t-8t, donde t está dada en años.

Además, el número de sismos moderados en esa ciudad está dado por:

(t^3/3+2)(t-5) con t en años.

2. Responde el siguiente cuestionamiento:

a) ¿Cuántas lluvias habrá entre  t=3 y t=7 ?
b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando t = 3?  

3. Identifica información relacionada con las lluvias o con los sismos y elabora un breve reporte donde que integre los siguientes elementos:

a) Variables.
b) Frecuencia de ocurrencia.
c) En al menos 5 renglones, incluye una conclusión respecto a su relación con el teorema fundamental del cálculo, con las derivadas o antiderivadas

### Análisis del Planteamiento

Tenemos dos funciones relacionadas con fenómenos naturales: la tasa de crecimiento de lluvias por año y el número de sismos moderados por año.

1. **Tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias**:
   La función que modela la tasa de crecimiento de lluvias es la derivada de una función \( f(t) \), y está dada por:
   \[
   f'(t) = e^{3t} - 8t
   \]
   Donde \( t \) está en años. Esta es una derivada que indica cómo varía la cantidad de lluvias con respecto al tiempo. Para conocer la cantidad total de lluvias entre dos momentos de tiempo \( t \), necesitamos encontrar la antiderivada de \( f'(t) \).

2. **Número de sismos moderados**:
   La función que describe el número de sismos moderados está dada por:
   \[
   g(t) = \left(\frac{t^3}{3} + 2\right)(t - 5)
   \]
   Esta función modela el número de sismos en función del tiempo \( t \), y para calcular la tasa de cambio instantánea (derivada), aplicaremos la regla del producto.

### 2. Resolución del Cuestionamiento

#### a) ¿Cuántas lluvias habrá entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \)?

Para obtener la cantidad total de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \), debemos integrar la tasa de crecimiento de lluvias \( f'(t) \) en ese intervalo:
\[
\text{Cantidad de lluvias} = \int_3^7 f'(t) \, dt = \int_3^7 (e^{3t} - 8t) \, dt
\]
Primero, integramos cada parte por separado:
\[
\int e^{3t} \, dt = \frac{1}{3} e^{3t} + C
\]
\[
\int -8t \, dt = -4t^2 + C
\]
Entonces, la antiderivada de \( f'(t) \) es:
\[
f(t) = \frac{1}{3}e^{3t} - 4t^2 + C
\]
Ahora evaluamos la integral definida en los límites \( t = 3 \) y \( t = 7 \):
\[
f(7) - f(3)
\]
Evaluemos los términos individualmente.

#### b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando \( t = 3 \)?

Para encontrar la razón de cambio instantánea, calculamos la derivada de la función que describe el número de sismos, \( g(t) = \left(\frac{t^3}{3} + 2\right)(t - 5) \), usando la regla del producto.

Derivada del primer término \( u(t) = \frac{t^3}{3} + 2 \):
\[
u'(t) = t^2
\]
Derivada del segundo término \( v(t) = t - 5 \):
\[
v'(t) = 1
\]
Aplicamos la regla del producto:
\[
g'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)
\]
\[
g'(t) = t^2(t - 5) + \left(\frac{t^3}{3} + 2\right)(1)
\]
Simplificamos la expresión:
\[
g'(t) = t^3 - 5t^2 + \frac{t^3}{3} + 2
\]
Evaluamos \( g'(t) \) en \( t = 3 \):
\[
g'(3) = 3^3 - 5(3^2) + \frac{3^3}{3} + 2
\]
Resolvemos.

### 3. Reporte sobre lluvias y sismos

#### a) Variables:
- \( t \): Tiempo en años.
- \( f(t) \): Cantidad acumulada de lluvias.
- \( g(t) \): Número de sismos moderados.

#### b) Frecuencia de ocurrencia:
- La tasa de lluvias está descrita por una función exponencial decreciente en parte, mientras que el número de sismos moderados tiene una relación cúbica con respecto al tiempo.

#### c) Relación con el teorema fundamental del cálculo:
El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una tasa de cambio (derivada) sobre un intervalo da la cantidad total acumulada en ese intervalo. En este problema, calculamos la cantidad total de lluvias entre \( t = 3 \) y \( t = 7 \) mediante la integración de \( f'(t) \). Esto demuestra la aplicación directa del teorema, pues la integral de la tasa de crecimiento nos da la cantidad de lluvias en ese lapso. Además, la derivada de la función \( g(t) \) nos da la razón de cambio instantánea del número de sismos, lo cual es una aplicación directa del concepto de derivada en el análisis de fenómenos naturales.

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cuál es la interpretación física de una tasa de crecimiento negativa en \( f'(t) \)?
2. ¿Cómo afectaría una variación en la función \( f'(t) \) al total de lluvias acumuladas?
3. ¿Qué implicaría un valor negativo en \( g'(t) \) respecto a los sismos?
4. ¿Cuál es la relación entre la derivada de una función cúbica y su impacto en la frecuencia de los sismos?
5. ¿Qué sucede si integramos \( f'(t) \) en un intervalo de tiempo más amplio?

### Tip:
Recuerda que la derivada mide la rapidez de cambio de una función, mientras que la integral acumula valores a lo largo de un intervalo.

Lee y analiza el siguiente planteamiento, con cada paso desglosado

En una ciudad cercana al Pacífico, la tasa de crecimiento de la cantidad de lluvias por año es:

f′(t)=e^3t-8t, donde t está dada en años.

Además, el número de sismos moderados en esa ciudad está dado por:

(t^3/3+2)(t-5) con t en años.

2. Responde el siguiente cuestionamiento:
a) ¿Cuántas lluvias habrá entre t=3 y t=7?
b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del número de terremotos con respecto al tiempo cuando t = 3?

3. Identifica información relacionada con las lluvias o con los sismos y elabora un breve reporte donde que integre los siguientes elementos:
a) Variables.
b) Frecuencia de ocurrencia.
c) En al menos 5 renglones, incluye una conclusión respecto a su relación con el teorema fundamental del cálculo, con las derivadas o antiderivadas.

Aprende a calcular la cantidad de lluvias entre t=3 y t=7 usando la integral de la tasa de crecimiento f'(t)=e^3t-8t, y cómo determinar la razón de cambio instantánea del número de sismos con la derivada de g(t). Un ejemplo práctico aplicando el teorema fundamental del cálculo y la regla del producto. Nivel universitario.

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