justifica las siguientes afirmaciones con un ejemplo y un contraejemplo según corresponda.
a.	La suma de dos números irracionales siempre da como resultado un número irracional.
b.	El producto de dos números irracionales da como resultado un numero irracional
c.	La división de dos números irracionales da como resultados un numero irracional


Vamos a analizar y justificar cada una de las afirmaciones utilizando ejemplos y contraejemplos para verificar su validez.

### a. La suma de dos números irracionales siempre da como resultado un número irracional.

**Ejemplo:**  
Tomemos los números irracionales \( \sqrt{2} \) y \( \sqrt{3} \).  
La suma \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \) es irracional, ya que no se puede expresar como una fracción de números enteros.  
Por lo tanto, en este caso la suma de dos números irracionales es irracional.

**Contraejemplo:**  
Tomemos \( \sqrt{2} \) y \( -\sqrt{2} \).  
La suma \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \), que es un número racional.  
Esto demuestra que no siempre la suma de dos números irracionales es irracional, ya que puede ser racional (como el caso del 0).

### b. El producto de dos números irracionales da como resultado un número irracional.

**Ejemplo:**  
Tomemos \( \sqrt{2} \) y \( \sqrt{3} \).  
El producto \( \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6} \) es irracional, ya que \( \sqrt{6} \) no puede ser expresado como una fracción de números enteros.

**Contraejemplo:**  
Tomemos \( \sqrt{2} \) y \( \sqrt{2} \).  
El producto \( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \), que es un número racional.  
Esto demuestra que no siempre el producto de dos números irracionales es irracional, ya que en este caso es racional.

### c. La división de dos números irracionales da como resultado un número irracional.

**Ejemplo:**  
Tomemos \( \sqrt{2} \) y \( \sqrt{3} \).  
La división \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \) es irracional, ya que no se puede expresar como una fracción simple de números enteros.

**Contraejemplo:**  
Tomemos \( \sqrt{2} \) y \( \sqrt{2} \).  
La división \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 \), que es un número racional.  
Esto muestra que no siempre la división de dos números irracionales es irracional.

### Resumen:
- a. No siempre la suma de irracionales es irracional (ejemplo: \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \)).
- b. No siempre el producto de irracionales es irracional (ejemplo: \( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \)).
- c. No siempre la división de irracionales es irracional (ejemplo: \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 \)).

¿Te gustaría profundizar más en alguno de estos puntos o ejemplos? Aquí tienes algunas preguntas para explorar más:

1. ¿Qué condiciones garantizan que la suma de irracionales sea irracional?
2. ¿Siempre que el producto de dos irracionales es irracional?
3. ¿Cómo afecta el uso de radicales en estas operaciones?
4. ¿Existen ejemplos donde la suma, el producto y la división siempre sean irracionales?
5. ¿Qué relación existe entre los irracionales y los números algebraicos en estas operaciones?

**Tip:** Cuando trabajes con números irracionales, es importante verificar si las operaciones entre ellos pueden simplificarse o generar números racionales.

justifica las siguientes afirmaciones con un ejemplo y un contraejemplo según corresponda.
a. La suma de dos números irracionales siempre da como resultado un número irracional.
b. El producto de dos números irracionales da como resultado un numero irracional.
c. La división de dos números irracionales da como resultados un numero irracional.

Descubre ejemplos y contraejemplos que justifican si la suma, el producto o la división de dos números irracionales siempre resulta en un número irracional. Este análisis es adecuado para estudiantes de secundaria y bachillerato (Grades 9-12) y cubre conceptos clave sobre los números irracionales y sus propiedades.

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