Demuestre que los puntos (− 3 ,1) , (5 , 3) , (3 , 0) , (− 5 , − 2) son los vértices de un
paralelogramo.

Para demostrar que los puntos \( A(-3, 1) \), \( B(5, 3) \), \( C(3, 0) \), y \( D(-5, -2) \) son los vértices de un paralelogramo, podemos utilizar la propiedad geométrica que establece que en un paralelogramo, los vectores que forman lados opuestos son iguales.

Los vértices dados son los siguientes:
- \( A(-3, 1) \)
- \( B(5, 3) \)
- \( C(3, 0) \)
- \( D(-5, -2) \)

### Paso 1: Calcular los vectores de los lados opuestos
Un paralelogramo tiene la propiedad de que los vectores que forman lados opuestos son iguales en magnitud y dirección. Vamos a calcular los vectores correspondientes a los lados opuestos, es decir, \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{CD} \), \( \overrightarrow{AD} \) y \( \overrightarrow{BC} \).

- **Vector \( \overrightarrow{AB} \):**
  \[
  \overrightarrow{AB} = B - A = (5, 3) - (-3, 1) = (5 + 3, 3 - 1) = (8, 2)
  \]

- **Vector \( \overrightarrow{CD} \):**
  \[
  \overrightarrow{CD} = D - C = (-5, -2) - (3, 0) = (-5 - 3, -2 - 0) = (-8, -2)
  \]

Observamos que:
\[
\overrightarrow{AB} = (8, 2) \quad \text{y} \quad \overrightarrow{CD} = (-8, -2)
\]
El vector \( \overrightarrow{CD} \) es exactamente opuesto a \( \overrightarrow{AB} \), lo que indica que estos lados son paralelos y de la misma longitud, confirmando la propiedad de lados opuestos en un paralelogramo.

- **Vector \( \overrightarrow{AD} \):**
  \[
  \overrightarrow{AD} = D - A = (-5, -2) - (-3, 1) = (-5 + 3, -2 - 1) = (-2, -3)
  \]

- **Vector \( \overrightarrow{BC} \):**
  \[
  \overrightarrow{BC} = C - B = (3, 0) - (5, 3) = (3 - 5, 0 - 3) = (-2, -3)
  \]

Observamos que:
\[
\overrightarrow{AD} = (-2, -3) \quad \text{y} \quad \overrightarrow{BC} = (-2, -3)
\]
Estos vectores también son iguales, lo que confirma que los lados \( \overrightarrow{AD} \) y \( \overrightarrow{BC} \) son paralelos y tienen la misma longitud.

### Conclusión:
Como hemos demostrado que los lados opuestos del cuadrilátero formado por los puntos \( A(-3, 1) \), \( B(5, 3) \), \( C(3, 0) \), y \( D(-5, -2) \) son iguales y paralelos, podemos concluir que los puntos son los vértices de un paralelogramo.

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**Tip:** Para verificar si un cuadrilátero es un paralelogramo usando vectores, asegúrate de que los lados opuestos sean paralelos y de igual longitud, o que las diagonales se crucen en su punto medio.

Demuestre que los puntos (−3 ,1), (5 , 3), (3 , 0), (−5 , −2) son los vértices de un paralelogramo.

This problem demonstrates how to prove that the points (−3, 1), (5, 3), (3, 0), and (−5, −2) are the vertices of a parallelogram using vector properties. The solution uses basic geometry and vector calculations to show that opposite sides are equal and parallel. Suitable for Grades 10-12.

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