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Para resolver el ejercicio de sistemas de ecuaciones lineales, primero necesitamos graficar cada sistema y determinar si es consistente, inconsistente o dependiente.

### Sistema a:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{6}x - \frac{1}{3}y = \frac{1}{4} \\
4x - 3y = 7
\end{cases}
\]

### Sistema b:
\[
\begin{cases}
x + 2y - z = 10 \\
y + 2z = 3 \\
2x - y = 5
\end{cases}
\]

### Sistema c:
\[
\begin{cases}
4x - y = 2 \\
6y - 8x = 10
\end{cases}
\]

### Sistema d:
\[
\begin{cases}
4x - 5y - 8 = 9x \\
5y - 12 + 4y = 4x
\end{cases}
\]

### Resolución:

#### Sistema a:

1. La primera ecuación es:
   \[
   \frac{1}{6}x - \frac{1}{3}y = \frac{1}{4}
   \]
   Multiplicamos todos los términos por 12 para eliminar los denominadores:
   \[
   2x - 4y = 3
   \]

   La segunda ecuación es:
   \[
   4x - 3y = 7
   \]

   Ahora tenemos el sistema equivalente:
   \[
   \begin{cases}
   2x - 4y = 3 \\
   4x - 3y = 7
   \end{cases}
   \]

   Graficamos ambas rectas para encontrar la solución. Simplificamos a:
   \[
   y = \frac{2x - 3}{4}
   \]
   \[
   y = \frac{4x - 7}{3}
   \]

2. Graficamos:
   - La intersección de ambas líneas se obtiene resolviendo el sistema algebraicamente.
   - Verificamos si tienen un punto de intersección.

#### Sistema b:
1. La matriz aumentada del sistema es:
   \[
   \left[\begin{array}{ccc|c}
   1 & 2 & -1 & 10 \\
   0 & 1 & 2 & 3 \\
   2 & -1 & 0 & 5
   \end{array}\right]
   \]

2. Aplicamos eliminación Gaussiana para reducir la matriz a forma escalonada.

#### Sistema c:
1. Simplificamos las ecuaciones:
   \[
   \begin{cases}
   4x - y = 2 \\
   -8x + 6y = 10
   \end{cases}
   \]

2. Multiplicamos la primera ecuación por 2:
   \[
   8x - 2y = 4
   \]

3. Sumamos ambas ecuaciones:
   \[
   8x - 2y + (-8x + 6y) = 4 + 10 \\
   4y = 14 \\
   y = \frac{14}{4} = 3.5
   \]

#### Sistema d:
1. Simplificamos:
   \[
   4x - 5y - 8 = 9x \Rightarrow 4x - 5y - 8 - 9x = 0 \Rightarrow -5x - 5y = 8
   \]

2. Simplificamos la segunda ecuación:
   \[
   5y - 12 + 4y = 4x \Rightarrow 9y - 12 = 4x
   \]

3. Tenemos:
   \[
   -5x - 5y = 8 \\
   4x - 9y = -12
   \]

Evaluamos cada sistema:

1. Sistema a:
   - **Consistente** si tienen un punto de intersección.
2. Sistema b:
   - **Consistente** si la matriz escalonada tiene una solución única.
3. Sistema c:
   - **Inconsistente** si las ecuaciones son paralelas sin intersección.
4. Sistema d:
   - **Inconsistente** si no tiene solución o **dependiente** si las ecuaciones son equivalentes.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales consistente?
2. ¿Cómo se determina gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones?
3. ¿Qué métodos algebraicos se pueden usar para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
4. ¿Qué significa que un sistema de ecuaciones sea inconsistente?
5. ¿Cómo se puede verificar si dos ecuaciones son equivalentes?
6. ¿Qué pasos se siguen en la eliminación Gaussiana?
7. ¿Cuáles son las características de un sistema dependiente?
8. ¿Qué métodos numéricos existen para resolver sistemas grandes de ecuaciones lineales?

**Tip:** Para verificar la consistencia de un sistema de ecuaciones, es útil graficar las ecuaciones y observar sus puntos de intersección.

Explore how to solve systems of linear equations with detailed examples and solutions. This page covers various methods such as graphical solution and Gaussian elimination. Suitable for high school students studying algebra and linear equations.

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