Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t)=–2t2+120t (em que t é expresso em dia e t=0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.

A segunda dedetização começou no

29º dia. 

20º dia.

19º dia.

60º dia.

30º dia.

A função dada para o número de infectados é \( f(t) = -2t^2 + 120t \), onde \( t \) é o número de dias e \( f(t) \) é o número de infectados após \( t \) dias.

Sabemos que a Secretaria de Saúde quer fazer a dedetização quando o número de infectados chegar a 1600 pessoas, ou seja, \( f(t) = 1600 \).

Então, basta resolvermos a equação:

\[
f(t) = -2t^2 + 120t = 1600
\]

Vamos reorganizar a equação para obter uma equação quadrática:

\[
-2t^2 + 120t - 1600 = 0
\]

Dividimos toda a equação por \(-2\) para simplificar:

\[
t^2 - 60t + 800 = 0
\]

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Na equação \( t^2 - 60t + 800 = 0 \), temos:
- \( a = 1 \)
- \( b = -60 \)
- \( c = 800 \)

Calculando o discriminante (\( \Delta \)):

\[
\Delta = (-60)^2 - 4 \times 1 \times 800 = 3600 - 3200 = 400
\]

Agora, calculamos as raízes:

\[
t = \frac{-(-60) \pm \sqrt{400}}{2 \times 1} = \frac{60 \pm 20}{2}
\]

As duas soluções são:

\[
t_1 = \frac{60 + 20}{2} = \frac{80}{2} = 40
\]
\[
t_2 = \frac{60 - 20}{2} = \frac{40}{2} = 20
\]

Portanto, o número de infectados atingirá 1600 pessoas no 20º e no 40º dias.

A primeira dedetização ocorreu no 20º dia.

### Resposta correta: **20º dia**.

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Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 questões relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como podemos interpretar o valor de \( t \) na função \( f(t) \)?
2. Por que a função quadrática tem duas soluções para o tempo em que o número de infectados chega a 1600?
3. O que significa o termo \( t^2 \) na função \( f(t) \)?
4. Como a Secretaria de Saúde poderia usar a derivada de \( f(t) \) para otimizar o controle da epidemia?
5. Se a função fosse alterada para \( f(t) = -3t^2 + 120t \), como isso afetaria o número de dias até a dedetização?

**Dica**: Quando uma equação quadrática tem duas soluções, você pode interpretar os dois valores dentro do contexto do problema, verificando qual faz mais sentido.

Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t)=–2t^2+120t (em que t é expresso em dia e t=0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. A segunda dedetização começou no 29º dia, 20º dia, 19º dia, 60º dia ou 30º dia.

Learn how to solve the quadratic equation f(t) = -2t^2 + 120t to find when the dengue infections reach 1600 people, triggering a second citywide dedetization. This problem covers quadratic equations, the discriminant, and real-world epidemic modeling, suitable for students in Grades 9-11.

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