ENEM 2016 – Adaptado) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número N de infectados é dado pela expressão N = –2t² + 120t (em que t é expresso em dia e t=0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.

A segunda dedetização começou no:

20° dia.

30° dia.

19° dia.

29° dia.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar o valor de \( t \) (número de dias) em que o número de infectados \( N \) atinge 1600 pessoas.

A equação que define o número de infectados é:
\[
N(t) = -2t^2 + 120t
\]

Sabemos que \( N = 1600 \), então substituímos na equação e resolvemos para \( t \):
\[
1600 = -2t^2 + 120t
\]

### Resolvendo a equação:
\[
-2t^2 + 120t - 1600 = 0
\]

Essa é uma equação quadrática que pode ser resolvida utilizando a fórmula de Bhaskara:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Onde \( a = -2 \), \( b = 120 \) e \( c = -1600 \).

### Calculando o discriminante (\( \Delta \)):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (120)^2 - 4(-2)(-1600)
\]
\[
\Delta = 14400 - 12800 = 1600
\]

### Agora aplicamos na fórmula de Bhaskara:
\[
t = \frac{-120 \pm \sqrt{1600}}{2(-2)}
\]
\[
t = \frac{-120 \pm 40}{-4}
\]

### Calculando as duas possíveis raízes:
\[
t_1 = \frac{-120 + 40}{-4} = \frac{-80}{-4} = 20
\]
\[
t_2 = \frac{-120 - 40}{-4} = \frac{-160}{-4} = 40
\]

Como o problema especifica que a dedetização deve ocorrer no primeiro momento em que o número de infectados atinge 1600, a segunda dedetização ocorreu no **20º dia**.

### Resposta:
- 20º dia.

---

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Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como se resolve uma equação quadrática em diferentes contextos?
2. O que representa o discriminante em uma equação quadrática?
3. Como interpretar o gráfico de uma função quadrática no contexto de uma epidemia?
4. Quais outros métodos podem ser usados para resolver equações quadráticas além da fórmula de Bhaskara?
5. Como se usa a função derivada para encontrar pontos máximos em modelos de epidemia?

**Dica**: Sempre verifique se as unidades de tempo ou qualquer outra variável estão consistentes com o enunciado da questão.

ENEM 2016 – Adaptado) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número N de infectados é dado pela expressão N = –2t² + 120t (em que t é expresso em dia e t=0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. A segunda dedetização começou no: 20° dia, 30° dia, 19° dia, 29° dia.

Learn how to solve a quadratic equation used in an epidemic context from the ENEM 2016 exam. The problem explores the spread of dengue and uses the formula N(t) = -2t² + 120t to model the number of infected individuals. Discover how to calculate the day when a second dedetization should occur based on reaching 1600 infections.

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