Parte del estudio de la Demografía, es el análisis de la dinámica poblacional.  Cuando los recursos son limitados (alimento, espacio, entre otras) al inicio la población crece de forma casi exponencial, pero posteriormente se compiten por los recursos limitados, y aunque sigue creciendo la población, tiende a hacerlo de forma más lenta.  Un modelo para esta situación, se conoce como modelo logístico y está dado por





dP/dt=kP(M−P)

P (t) es la población en el instante t, Mientras que k y M son constantes. En particular, M es la población que el sistema (entorno, ambiente) puede sostener. Y t se mide en meses para una población de peces, bajo estudio.

Suponga que para una población     k = 0.006, M = 12 y P(0) = 1 (en miles de peces)

Resuelva el problema, separando las variables. Una vez que separe las variables, resolver las integrales que surgen.

¿Cuál es la población, en miles de habitantes, en el instante t = 3.0?

Para resolver el problema planteado utilizando el modelo logístico dado por la ecuación diferencial:

\[
\frac{dP}{dt} = kP(M - P)
\]

donde \( k = 0.006 \), \( M = 12 \) y \( P(0) = 1 \) (en miles de peces), vamos a seguir los siguientes pasos:

### Paso 1: Separación de variables

Primero, reescribimos la ecuación para separar las variables \( P \) y \( t \):

\[
\frac{dP}{P(M - P)} = k \, dt
\]

### Paso 2: Descomposición en fracciones parciales

La integral en el lado izquierdo puede resolverse descomponiendo la fracción en dos términos:

\[
\frac{1}{P(M - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{M - P}
\]

Donde \( A \) y \( B \) son constantes que debemos encontrar. Multiplicando ambos lados de la ecuación por \( P(M - P) \), obtenemos:

\[
1 = A(M - P) + BP
\]

Expandiendo y agrupando términos similares:

\[
1 = AM - AP + BP = (A + B)P + AM
\]

De donde se deduce que \( A + B = 0 \) y \( AM = 1 \). Resolviendo, obtenemos \( A = \frac{1}{M} \) y \( B = -\frac{1}{M} \).

Por lo tanto:

\[
\frac{1}{P(M - P)} = \frac{1}{M} \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{M - P} \right)
\]

### Paso 3: Integración

Ahora integramos ambos lados de la ecuación:

\[
\int \frac{1}{M} \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{M - P} \right) dP = \int k \, dt
\]

Esto se convierte en:

\[
\frac{1}{M} \left( \ln |P| - \ln |M - P| \right) = kt + C
\]

Simplificando:

\[
\frac{1}{M} \ln \left|\frac{P}{M - P}\right| = kt + C
\]

Multiplicando por \( M \):

\[
\ln \left|\frac{P}{M - P}\right| = Mkt + C'
\]

Donde \( C' = CM \) es una nueva constante de integración. Exponenciando ambos lados:

\[
\frac{P}{M - P} = e^{Mkt + C'}
\]

Sea \( C'' = e^{C'} \):

\[
\frac{P}{M - P} = C'' e^{Mkt}
\]

Despejando \( P \):

\[
P = \frac{M C'' e^{Mkt}}{1 + C'' e^{Mkt}}
\]

### Paso 4: Determinación de la constante \( C'' \) usando la condición inicial

Usamos la condición inicial \( P(0) = 1 \) (miles de peces):

\[
1 = \frac{12 C''}{1 + 12 C''}
\]

Esto implica:

\[
1 + 12 C'' = 12 C''
\]

Resolviendo para \( C'' \):

\[
C'' = \frac{1}{11}
\]

### Paso 5: Sustitución y cálculo de \( P(t) \) para \( t = 3 \)

Ahora, substituimos \( C'' \) en la expresión para \( P(t) \):

\[
P(t) = \frac{12 \cdot \frac{1}{11} e^{12 \cdot 0.006 \cdot t}}{1 + \frac{1}{11} e^{12 \cdot 0.006 \cdot t}}
\]

Simplificando:

\[
P(t) = \frac{\frac{12}{11} e^{0.072t}}{1 + \frac{1}{11} e^{0.072t}} = \frac{12 e^{0.072t}}{11 + e^{0.072t}}
\]

Finalmente, para \( t = 3.0 \):

\[
P(3) = \frac{12 e^{0.216}}{11 + e^{0.216}}
\]

Calculando:

\[
P(3) \approx \frac{12 \cdot 1.241}{11 + 1.241} \approx \frac{14.892}{12.241} \approx 1.216 \text{ (miles de peces)}
\]

### Resultado final

La población de peces en el instante \( t = 3.0 \) es aproximadamente **1.216** miles de peces.

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¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este procedimiento?

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**Preguntas relacionadas**:

1. ¿Cómo se deriva la fórmula del modelo logístico?
2. ¿Qué significan los parámetros \( k \) y \( M \) en términos biológicos?
3. ¿Cómo afecta el valor de \( k \) al crecimiento de la población?
4. ¿Qué ocurre con la población cuando \( P(t) \) se aproxima a \( M \)?
5. ¿Cómo cambiaría el resultado si la población inicial \( P(0) \) fuera diferente?

**Tip**: Cuando uses modelos matemáticos como el logístico, siempre verifica si los supuestos y condiciones del modelo reflejan la realidad del problema que estás estudiando.

Explore how to solve the logistic growth model using differential equations. This problem involves analyzing population dynamics under limited resources, with constants k = 0.006, M = 12, and initial population P(0) = 1 (in thousands of fish). Discover the step-by-step integration process and the resulting population estimation at t = 3.0 months.

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