Dadas las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales, resolverlas analíticamente aplicando la definición y propiedades de los logaritmos y de los exponentes. Ecuaciones funciones logarítmicas: 〖log〗_5⁡(1/x)=2+〖log〗_5⁡〖(1-x)〗

Para resolver la ecuación logarítmica \(\log_5\left(\frac{1}{x}\right) = 2 + \log_5(1 - x)\), sigamos paso a paso aplicando las propiedades de los logaritmos.

### Paso 1: Aislar los logaritmos

Primero, vamos a tratar de aislar los logaritmos de un lado de la ecuación. Para esto, restamos \(\log_5(1 - x)\) de ambos lados de la ecuación:

\[
\log_5\left(\frac{1}{x}\right) - \log_5(1 - x) = 2
\]

### Paso 2: Aplicar la propiedad de resta de logaritmos

Usamos la propiedad de los logaritmos que dice que \(\log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right)\). Aplicando esta propiedad al lado izquierdo de la ecuación:

\[
\log_5\left(\frac{\frac{1}{x}}{1 - x}\right) = 2
\]

Esto se simplifica a:

\[
\log_5\left(\frac{1}{x(1 - x)}\right) = 2
\]

### Paso 3: Eliminar el logaritmo aplicando la definición

Ahora aplicamos la definición del logaritmo, que dice que si \(\log_b(a) = c\), entonces \(a = b^c\). En nuestro caso, la base es 5 y el exponente es 2:

\[
\frac{1}{x(1 - x)} = 5^2
\]

Lo que nos da:

\[
\frac{1}{x(1 - x)} = 25
\]

### Paso 4: Resolver la ecuación racional

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \(x(1 - x)\) para eliminar el denominador:

\[
1 = 25x(1 - x)
\]

Distribuimos el 25 en el lado derecho:

\[
1 = 25x - 25x^2
\]

Reorganizamos la ecuación para obtener una cuadrática:

\[
25x^2 - 25x + 1 = 0
\]

### Paso 5: Resolver la ecuación cuadrática

Usamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

En nuestro caso, \(a = 25\), \(b = -25\) y \(c = 1\). Sustituimos estos valores en la fórmula:

\[
x = \frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 4(25)(1)}}{2(25)}
\]

\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 100}}{50}
\]

\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{525}}{50}
\]

\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{25 \cdot 21}}{50}
\]

\[
x = \frac{25 \pm 5\sqrt{21}}{50}
\]

### Paso 6: Simplificar las soluciones

Dividimos todo entre 5:

\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{10}
\]

### Soluciones finales

Las dos posibles soluciones para \(x\) son:

\[
x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{10}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{10}
\]

### Verificación de las soluciones

Para verificar si alguna de estas soluciones debe ser descartada, debemos asegurarnos de que \(x\) sea positivo y que \(1 - x\) también sea positivo (porque estamos trabajando con logaritmos que solo están definidos para valores positivos). \(x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{10}\) es un valor negativo, lo que invalida esta solución.

Por lo tanto, la solución válida es:

\[
x = \frac{5 + \sqrt{21}}{10}
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos?

Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede aplicar la definición de logaritmo en otras ecuaciones logarítmicas?
2. ¿Cómo se deriva la fórmula cuadrática utilizada en este tipo de problemas?
3. ¿Cómo afecta la base de un logaritmo en el proceso de resolución?
4. ¿Qué sucede si intentamos resolver esta ecuación usando exponentes en lugar de logaritmos?
5. ¿Cómo se verifica la validez de las soluciones en ecuaciones logarítmicas y cuadráticas?

**Tip:** Cuando trabajas con logaritmos, siempre verifica el dominio de la función, ya que el logaritmo solo está definido para valores positivos.

Dadas las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales, resolverlas analíticamente aplicando la definición y propiedades de los logaritmos y de los exponentes. Ecuaciones funciones logarítmicas: log_5⁡(1/x)=2+log_5⁡(1-x)

This step-by-step guide solves the logarithmic equation log_5(1/x) = 2 + log_5(1 - x) by applying logarithmic properties and quadratic equations. It covers essential concepts like logarithmic subtraction, exponential equations, and solving quadratic equations. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation