Limite
 𝑥→0
  [(𝑥+19)³−19³]/𝑥 +1/19

Vamos a resolver el siguiente límite:

\[
\lim_{x \to 0} \left[\frac{(x + 19)^3 - 19^3}{x}\right] + \frac{1}{19}.
\]

### Paso 1: Simplificación de la expresión

La parte principal del límite es:

\[
\frac{(x + 19)^3 - 19^3}{x}.
\]

Esta expresión se asemeja a una forma derivada de la diferencia de cubos. Expandamos \((x + 19)^3 - 19^3\) utilizando la fórmula de la diferencia de cubos:

\[
(a + b)^3 - a^3 = 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
\]

Aplicando la fórmula con \( a = 19 \) y \( b = x \), tenemos:

\[
(x + 19)^3 - 19^3 = 3 \cdot 19^2 \cdot x + 3 \cdot 19 \cdot x^2 + x^3.
\]

Simplificamos:

\[
(x + 19)^3 - 19^3 = x(3 \cdot 19^2 + 3 \cdot 19 \cdot x + x^2).
\]

Entonces, la fracción se convierte en:

\[
\frac{x(3 \cdot 19^2 + 3 \cdot 19 \cdot x + x^2)}{x} = 3 \cdot 19^2 + 3 \cdot 19 \cdot x + x^2.
\]

### Paso 2: Calcular el límite

Ahora, calculamos el límite de la expresión cuando \( x \to 0 \):

\[
\lim_{x \to 0} (3 \cdot 19^2 + 3 \cdot 19 \cdot x + x^2) + \frac{1}{19}.
\]

Evaluando el límite cuando \(x \to 0\):

\[
3 \cdot 19^2 + 3 \cdot 19 \cdot 0 + 0^2 + \frac{1}{19} = 3 \cdot 19^2 + \frac{1}{19}.
\]

Calculamos \(3 \cdot 19^2\):

\[
3 \cdot 19^2 = 3 \cdot 361 = 1083.
\]

Por lo tanto, el límite es:

\[
1083 + \frac{1}{19} = \frac{1083 \times 19 + 1}{19} = \frac{20578}{19}.
\]

Entonces, el valor del límite es:

\[
\boxed{\frac{20578}{19}}.
\]

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

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### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplican las fórmulas de expansión de binomios en límites?
2. ¿Cómo derivar funciones cúbicas para simplificar límites?
3. ¿Cuándo es útil la regla de L'Hôpital en cálculos de límites?
4. ¿Cómo se evalúan límites con expresiones polinómicas?
5. ¿Qué técnicas existen para resolver límites indeterminados?

**Tip:** La expansión de binomios ayuda a simplificar expresiones complejas y a calcular límites con mayor facilidad.

Explore the solution to the limit as x approaches 0 of ((x + 19)^3 - 19^3) / x + 1/19. Learn how to simplify polynomial expressions using the difference of cubes formula and calculate limits effectively. Suitable for college-level mathematics.

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