el limite se acerca a 0 (𝑥+19)² −19²]/𝑥 +1/19

Para resolver el límite:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{(x + 19)^2 - 19^2}{x} + \frac{1}{19},
\]

primero simplificamos la expresión fraccionaria usando la diferencia de cuadrados y derivadas básicas. Empezamos con la primera parte:

### Paso 1: Simplificación de la expresión

La expresión principal es:

\[
\frac{(x + 19)^2 - 19^2}{x}.
\]

Podemos reconocer la forma \((a + b)^2 - a^2\), que se puede expandir como:

\[
(x + 19)^2 - 19^2 = (x + 19 - 19)(x + 19 + 19) = x(2 \times 19 + x).
\]

Sustituyendo esto, la fracción se convierte en:

\[
\frac{x(2 \times 19 + x)}{x} = 2 \times 19 + x = 38 + x.
\]

### Paso 2: Calcular el límite

Ahora, el límite se reescribe como:

\[
\lim_{x \to 0} (38 + x) + \frac{1}{19}.
\]

Al evaluar el límite cuando \(x \to 0\):

\[
38 + 0 + \frac{1}{19} = 38 + \frac{1}{19}.
\]

### Paso 3: Simplificación final

\[
38 + \frac{1}{19} = \frac{38 \times 19 + 1}{19} = \frac{723}{19}.
\]

Entonces, el límite es:

\[
\boxed{\frac{723}{19}}.
\]

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo simplificar expresiones con la diferencia de cuadrados?
2. ¿Cómo aplicar la regla del cociente para límites?
3. ¿Qué otras técnicas existen para evaluar límites indeterminados?
4. ¿Cómo se aplica el teorema del sándwich en límites?
5. ¿Cuándo es útil la derivada para calcular límites?

**Tip:** Practicar simplificación de expresiones antes de evaluar límites ayuda a evitar errores comunes.

Learn how to evaluate the limit lim x → 0 [(x + 19)^2 - 19^2] / x + 1 / 19 with a detailed step-by-step solution. This problem involves the application of the difference of squares and the quotient rule for limits. Suitable for advanced high school students.

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