Resuelve este límite cuando X se acerca a 0 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(19 cos 𝑥 − 19)/𝑥

Para resolver el límite

\[
\lim_{x \to 0} \frac{19 \cos(x) - 19}{x}
\]

podemos seguir los siguientes pasos:

### Paso 1: Factorizar el 19 en el numerador
Primero, factorizamos el 19 en el numerador:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{19 (\cos(x) - 1)}{x}
\]

### Paso 2: Aplicar la regla de L'Hôpital
Este límite es de la forma \(\frac{0}{0}\), por lo que podemos aplicar la regla de L'Hôpital. La regla de L'Hôpital dice que si tenemos un límite de la forma \(\frac{0}{0}\), podemos derivar el numerador y el denominador y luego tomar el límite.

Derivamos el numerador y el denominador:

- Derivada del numerador: \( \frac{d}{dx}[19 (\cos(x) - 1)] = 19(-\sin(x)) \)
- Derivada del denominador: \( \frac{d}{dx}[x] = 1 \)

Por lo tanto, el límite se convierte en:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{19(-\sin(x))}{1} = 19 \lim_{x \to 0} -\sin(x)
\]

### Paso 3: Evaluar el límite
Sabemos que \(\sin(x)\) tiende a 0 cuando \(x\) tiende a 0, por lo que:

\[
19 \lim_{x \to 0} -\sin(x) = 19(0) = 0
\]

Por lo tanto, el límite es \( \boxed{0} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Qué otros métodos existen para resolver límites de este tipo?
2. ¿Cómo se aplica la regla de L'Hôpital en diferentes situaciones?
3. ¿Qué sucede si intentamos evaluar este límite directamente sin aplicar L'Hôpital?
4. ¿Cuál es la importancia de factorizar en la resolución de límites?
5. ¿Qué significa que un límite tenga la forma \(\frac{0}{0}\)?

**Tip:** Siempre verifica si un límite es indeterminado antes de aplicar la regla de L'Hôpital u otro método especial.

Explore how to solve the limit of (19 cos x - 19) / x as x approaches 0 using L'Hôpital's rule. This problem involves trigonometric functions and is suitable for advanced high school students.

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