https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1726070969015i3k10rv7.jpg

rezolva exercitiile in romana si explicale

Să rezolvăm pe rând exercițiile din imagine, explicând fiecare pas.

### 1. Calculați suma primilor 10 termeni ai progresiei geometrice \((b_n)_{n \geq 1}\) cu primul termen \(b_1 = 1\) și rația \(q = 2\).

Suma primilor \(n\) termeni ai unei progresii geometrice este dată de formula:
\[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad \text{pentru} \, q \neq 1
\]

În cazul nostru, \(b_1 = 1\), \(q = 2\) și \(n = 10\). Aplicăm formula:
\[
S_{10} = 1 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1 - 1024}{-1} = 1023
\]
Deci, suma primilor 10 termeni este \(S_{10} = 1023\).

---

### 2. Fie funcțiile \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 3x - 1\) și \(g(x) = x^2 + 4x + 4\). Arătați că \((g \circ f)(x) = (3x + 1)^2\), pentru orice număr real \(x\).

Pentru a determina \((g \circ f)(x)\), trebuie să compunem funcțiile \(g\) și \(f\), adică să calculăm \(g(f(x))\).

1. Avem \(f(x) = 3x - 1\).
2. Aplicăm această expresie în \(g(x)\), deci calculăm \(g(f(x)) = g(3x - 1)\).
3. \(g(x) = x^2 + 4x + 4\), deci înlocuim \(x\) cu \(3x - 1\) în \(g(x)\):
\[
g(3x - 1) = (3x - 1)^2 + 4(3x - 1) + 4
\]

Calculăm fiecare termen:
\[
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1
\]
\[
4(3x - 1) = 12x - 4
\]
\[
g(3x - 1) = 9x^2 - 6x + 1 + 12x - 4 + 4 = 9x^2 + 6x + 1
\]

Pe de altă parte, avem \((3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1\), deci:
\[
(g \circ f)(x) = (3x + 1)^2
\]

---

### 3. Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația \((3x - 1)^2 + 1 = 0\).

Mai întâi, scriem ecuația:
\[
(3x - 1)^2 = -1
\]
Luăm rădăcina pătrată din ambele părți:
\[
3x - 1 = \pm i
\]
unde \(i\) este unitatea imaginară.

Rezolvăm pentru \(x\):
\[
3x = 1 \pm i
\]
\[
x = \frac{1 \pm i}{3}
\]
Astfel, soluțiile sunt:
\[
x_1 = \frac{1 + i}{3}, \quad x_2 = \frac{1 - i}{3}
\]

---

### 4. Calculați \(\frac{C_6^3 - C_5^3}{A_6^2}\).

Calculăm mai întâi fiecare termen:
\[
C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
\]
\[
C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10
\]
\[
A_6^2 = 6 \times 5 = 30
\]

Acum, calculăm expresia:
\[
\frac{C_6^3 - C_5^3}{A_6^2} = \frac{20 - 10}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}
\]

---

### 5. În reperul cartezian \(Oxy\) se consideră punctele \(A(3, -1)\), \(B(-1, 1)\) și \(C(1, 3)\). Determinați coordonatele centrului de greutate al triunghiului \(ABC\).

Coordonatele centrului de greutate \(G\) al unui triunghi se calculează ca media aritmetică a coordonatelor vârfurilor:
\[
G_x = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad G_y = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}
\]

Pentru punctele \(A(3, -1)\), \(B(-1, 1)\), \(C(1, 3)\), avem:
\[
G_x = \frac{3 + (-1) + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1
\]
\[
G_y = \frac{-1 + 1 + 3}{3} = \frac{3}{3} = 1
\]

Deci, coordonatele centrului de greutate sunt \(G(1, 1)\).

---

### 6. Determinați \(x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) pentru care \(\tan x + \cot x = 2\).

Rescriem ecuația folosind identitățile trigonometrice:
\[
\tan x + \frac{1}{\tan x} = 2
\]
Notăm \(t = \tan x\), astfel încât ecuația devine:
\[
t + \frac{1}{t} = 2
\]

Înmulțim cu \(t\) pentru a elimina fracția:
\[
t^2 + 1 = 2t
\]
\[
t^2 - 2t + 1 = 0
\]
Aceasta este o ecuație de forma \((t - 1)^2 = 0\), deci \(t = 1\).

Cum \(t = \tan x\), avem \(\tan x = 1\), ceea ce înseamnă că \(x = \frac{\pi}{4}\).

---

### Ai întrebări suplimentare sau vrei detalii despre una dintre soluții?

### Întrebări adiționale:
1. Cum se calculează termenul general al unei progresii geometrice?
2. Care este diferența între compunerea funcțiilor și aplicarea succesivă a acestora?
3. De ce soluțiile ecuației complexe includ numere imaginare?
4. Cum putem generaliza formula centrului de greutate pentru un poligon?
5. Ce alte metode putem folosi pentru a rezolva ecuații trigonometrice similare?

### Sfat: La compunerea funcțiilor, ordinea în care aplici funcțiile contează foarte mult, așa că fii atent când calculezi!

This page provides detailed step-by-step solutions for exercises on geometric progression, function composition, complex number equations, combinatorics, centroid calculations, and trigonometric equations. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation