https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1726069752626ry9l4hu6.jpg

Hai să rezolvăm pas cu pas fiecare dintre exercițiile din imagine:

### 1. Calculați \( S = 1 + 7 + 13 + 19 + \dots + 55 \)

Observăm că șirul dat este un **șir aritmetic**, având primul termen \( a_1 = 1 \), rația \( r = 6 \), și ultimul termen \( a_n = 55 \). Formula pentru suma unui șir aritmetic este:
\[
S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}
\]
Mai întâi, trebuie să determinăm numărul de termeni \( n \). Folosim formula termenului general al unui șir aritmetic:
\[
a_n = a_1 + (n-1)r
\]
\[
55 = 1 + (n-1)6
\]
\[
55 = 1 + 6n - 6 \implies 60 = 6n \implies n = 10
\]
Acum putem calcula suma:
\[
S_{10} = \frac{10(1 + 55)}{2} = \frac{10 \cdot 56}{2} = 280
\]
Deci, \( S = 280 \).

---

### 2. Se dau funcțiile \( f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = -x^2 - 2x + 8 \) și \( g(x) = x + 4 \). Aflați punctul de coordonate pozitive aflat la intersecția graficelor funcțiilor \( f \) și \( g \).

Pentru a găsi punctul de intersecție, egalăm funcțiile:
\[
f(x) = g(x)
\]
\[
-x^2 - 2x + 8 = x + 4
\]
Mutăm toate termenii pe o parte:
\[
-x^2 - 2x + 8 - x - 4 = 0 \implies -x^2 - 3x + 4 = 0
\]
Înmulțim toată ecuația cu \( -1 \) pentru a simplifica:
\[
x^2 + 3x - 4 = 0
\]
Rezolvăm ecuația folosind formula cuadratică:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \implies x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}
\]
Deci, avem:
\[
x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \quad \text{și} \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4
\]
Punctul cu coordonată pozitivă este \( x_1 = 1 \). Acum calculăm \( y \) folosind \( g(x) \):
\[
y = g(1) = 1 + 4 = 5
\]
Deci, punctul de intersecție este \( (1, 5) \).

---

### 3. Aflați soluția reală nenulă a ecuației \( 4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 \)

Putem face o substituție: \( 2^x = t \). Atunci \( 4^x = (2^x)^2 = t^2 \), iar ecuația devine:
\[
t^2 - 3t + 2 = 0
\]
Aceasta este o ecuație de gradul 2, care se rezolvă ușor:
\[
t_1 = 1 \quad \text{și} \quad t_2 = 2
\]
Refacem substituția \( 2^x = t \), deci avem două cazuri:
1. \( 2^x = 1 \implies x = 0 \), dar această soluție este nulă.
2. \( 2^x = 2 \implies x = 1 \)

Soluția reală nenulă este \( x = 1 \).

---

### 4. Fie \( x \) un număr real pozitiv. Aflați termenul dezvoltării \( \left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^{48} \), care nu-l conține pe \( x \).

Această problemă se rezolvă prin dezvoltarea binomială a expresiei. Forma generală a termenului \( k \)-lea din dezvoltarea binomială este:
\[
T_k = \binom{48}{k} (\sqrt{x})^{48-k} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^k = \binom{48}{k} x^{\frac{48 - 2k}{2}}
\]
Termenul care nu conține \( x \) apare atunci când exponentul lui \( x \) este zero, adică:
\[
\frac{48 - 2k}{2} = 0 \implies 48 - 2k = 0 \implies k = 24
\]
Deci, termenul căutat este \( T_{24} \), care este:
\[
T_{24} = \binom{48}{24}
\]
Acest binom poate fi calculat cu o formulă de combinări.

---

### 5. Scrieți ecuația mediatoarei segmentului \( AB \), unde \( A(1, -2) \) și \( B(3, 4) \).

Mediatoarea este perpendiculară pe segmentul \( AB \) și trece prin mijlocul acestuia. Mai întâi, calculăm coordonatele mijlocului segmentului \( AB \):
\[
M\left( \frac{1+3}{2}, \frac{-2+4}{2} \right) = M(2, 1)
\]
Panta segmentului \( AB \) este:
\[
m_{AB} = \frac{4 - (-2)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3
\]
Panta mediatoarei este inversul negativ al acestei pante:
\[
m = -\frac{1}{3}
\]
Ecuația dreptei mediatoare este de forma:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
unde \( (x_1, y_1) = (2, 1) \). Substituind valorile:
\[
y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 2)
\]
\[
y - 1 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}
\]
\[
y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}
\]
Deci, ecuația mediatoarei este \( y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \).

---

### 6. Determinați \( x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \) pentru care \( 3\sin x + \cos x = 4\sin x \).

Simplificăm ecuația:
\[
3\sin x + \cos x = 4\sin x \implies \cos x = \sin x
\]
Aceasta este adevărată pentru \( x = \frac{\pi}{4} \).

Deci, soluția este \( x = \frac{\pi}{4} \).

---

Dacă ai nevoie de detalii suplimentare sau ai întrebări, te rog să-mi spui! Iată și câteva întrebări legate de aceste probleme:

1. Cum se deduce formula pentru suma unui șir aritmetic?
2. Cum se determină punctul de intersecție al două funcții grafic?
3. Ce metodă se folosește pentru a rezolva ecuațiile de gradul al doilea?
4. Care este rolul pantei în ecuația unei drepte?
5. Cum se calculează combinările \( \binom{n}{k} \)?

**Sfat:** În ecuațiile binomiale, identificarea termenilor fără variabilă ajută la simplificarea dezvoltării algebrice.

The original question submitted by the user as text: rezolva in romana

This solution covers a variety of mathematical topics including solving an arithmetic progression series, finding the intersection of function graphs, solving quadratic equations, binomial expansion terms, and finding trigonometric solutions. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation