https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1726491354182oxzf8xri.jpg

Let’s go through the math problems in Romanian and provide solutions for each.

---

### 1. Calculați modulul numărului complex \( z = \frac{8 - i}{2 + i \cdot 2} \)

#### Rezolvare:

Pentru a calcula modulul unui număr complex \( z = \frac{a + bi}{c + di} \), trebuie să multiplicăm numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului. Conjugatul numitorului este \( 2 - 2i \).

- \( z = \frac{8 - i}{2 + 2i} \times \frac{2 - 2i}{2 - 2i} \)
- \( z = \frac{(8 - i)(2 - 2i)}{(2 + 2i)(2 - 2i)} \)
- Calculăm numărătorul:
  \[
  (8 - i)(2 - 2i) = 16 - 16i - 2i + 2i^2 = 16 - 18i - 2(-1) = 16 - 18i + 2 = 18 - 18i
  \]
- Calculăm numitorul:
  \[
  (2 + 2i)(2 - 2i) = 4 - 4i^2 = 4 + 4 = 8
  \]
- \( z = \frac{18 - 18i}{8} = \frac{18}{8} - \frac{18i}{8} = \frac{9}{4} - \frac{9i}{4} \)

Modulul lui \( z \) este:
\[
|z| = \sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)^2 + \left(-\frac{9}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{81}{16} + \frac{81}{16}} = \sqrt{\frac{162}{16}} = \frac{\sqrt{162}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{4}
\]

---

### 2. Se consideră funcția \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{x^2} \). Calculați produsul \( p = f(2) \cdot f(3) \cdot \ldots \cdot f(9) \).

#### Rezolvare:

Funcția dată este \( f(x) = \frac{1}{x^2} \), astfel încât trebuie să calculăm:
\[
p = f(2) \cdot f(3) \cdot f(4) \cdot f(5) \cdot f(6) \cdot f(7) \cdot f(8) \cdot f(9)
\]

- \( f(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \)
- \( f(3) = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)
- \( f(4) = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \)
- \( f(5) = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \)
- \( f(6) = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \)
- \( f(7) = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \)
- \( f(8) = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64} \)
- \( f(9) = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81} \)

Produsul \( p \) este:
\[
p = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36 \cdot 49 \cdot 64 \cdot 81}
\]

Să calculăm produsul din numitor:
\[
4 \cdot 9 = 36, \quad 36 \cdot 16 = 576, \quad 576 \cdot 25 = 14400, \quad 14400 \cdot 36 = 518400, \quad 518400 \cdot 49 = 25401600, 
\]
\[
25401600 \cdot 64 = 1625702400, \quad 1625702400 \cdot 81 = 131680894400
\]

Astfel, \( p = \frac{1}{131680894400} \).

---

### 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \( 4^{x^2 + 1} = 32^x \).

#### Rezolvare:

Transformăm ambele părți ale ecuației în puteri ale lui 2:

- \( 4 = 2^2 \), deci \( 4^{x^2 + 1} = (2^2)^{x^2 + 1} = 2^{2(x^2 + 1)} = 2^{2x^2 + 2} \)
- \( 32 = 2^5 \), deci \( 32^x = (2^5)^x = 2^{5x} \)

Ecuația devine:
\[
2^{2x^2 + 2} = 2^{5x}
\]

Egalăm exponenții:
\[
2x^2 + 2 = 5x
\]

Rezolvăm ecuația:
\[
2x^2 - 5x + 2 = 0
\]

Discriminantul este:
\[
\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9
\]

Rădăcinile sunt:
\[
x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}
\]
\[
x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}
\]

Astfel, soluțiile sunt \( x = 2 \) și \( x = \frac{1}{2} \).

---

Dacă ai nevoie de detalii suplimentare sau clarificări pentru una dintre soluții, spune-mi!

---

### Întrebări adiționale:
1. Cum putem reprezenta grafic soluțiile unei ecuații complexe?
2. Ce proprietăți speciale are modulul unui număr complex?
3. Ce metodă de factorizare poate fi folosită pentru ecuațiile de gradul 2?
4. Cum se rezolvă ecuațiile exponențiale prin egalarea bazelor?
5. Cum putem simplifica funcțiile date pe intervale diferite?

### Sfat:
Pentru ecuații exponențiale și logaritmice, încearcă să exprimi toate valorile în aceleași baze pentru a simplifica compararea exponenților.

Rezolvați problemele de matematică din imagine.

Solve a variety of high school-level math problems involving complex numbers, functions, exponential equations, probability, and geometry. This guide includes detailed solutions and key mathematical concepts for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation