Una partícula tiene una velocidad de 2.401 metros por minuto, si su velocidad aumenta por 7 cada minuto y la velocidad inicial fue de 7 metros por minuto ¿Cuántas veces ha aumentado su velocidad?

Recuerda utilizar la logaritmación, para encontrar el exponente.
 
Describe el proceso realizado y da la solución. 

Para resolver este problema, vamos a utilizar una ecuación exponencial y la logaritmación para encontrar cuántas veces ha aumentado la velocidad de la partícula.

### Datos proporcionados:

- **Velocidad inicial** (\( v_0 \)) = 7 metros por minuto.
- **Velocidad final** (\( v_f \)) = 2.401 metros por minuto.
- La velocidad aumenta en un factor de **7 cada minuto**.

Queremos encontrar el número de veces (\( n \)) que la velocidad ha aumentado por ese factor de 7.

### Planteamiento del problema:

Sabemos que la velocidad cambia de forma exponencial, ya que aumenta por un factor constante de 7 en cada minuto. La relación entre la velocidad inicial, la velocidad final y el número de incrementos \( n \) es:

\[
v_f = v_0 \cdot 7^n
\]

Donde:

- \( v_f \) es la velocidad final (2.401 m/min).
- \( v_0 \) es la velocidad inicial (7 m/min).
- \( n \) es el número de veces que ha aumentado la velocidad por un factor de 7.

### Sustituyendo los valores conocidos:

\[
2.401 = 7 \cdot 7^n
\]

Simplificando la ecuación:

\[
2.401 = 7^{n+1}
\]

### Resolviendo para \( n \):

Para resolver \( n \), tomamos el logaritmo en ambos lados de la ecuación. Usaremos logaritmo base 10 (log) para mayor simplicidad:

\[
\log(2.401) = \log(7^{n+1})
\]

Utilizando la propiedad logarítmica de los exponentes (\( \log(a^b) = b \cdot \log(a) \)):

\[
\log(2.401) = (n+1) \cdot \log(7)
\]

Ahora despejamos \( n \):

\[
n+1 = \frac{\log(2.401)}{\log(7)}
\]

\[
n = \frac{\log(2.401)}{\log(7)} - 1
\]

### Cálculo:

Procedemos a calcular este valor:

\[
n = \frac{\log(2.401)}{\log(7)} - 1
\]

Calculando los logaritmos:

\[
n = \frac{0.3802}{0.8451} - 1
\]

\[
n \approx 0.45 - 1
\]

\[
n \approx -0.55
\]

### Interpretación del resultado:

El valor de \( n \approx -0.55 \) indica que la velocidad no ha aumentado sino disminuido respecto al valor inicial. Esto puede interpretarse como una reducción de la velocidad en aproximadamente 0.55 minutos. La velocidad inicial es mayor que la velocidad final, lo que coincide con la tendencia de disminución.

### Solución:

La velocidad de la partícula ha disminuido en aproximadamente **0.55 veces** en lugar de aumentar.

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¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el tipo de logaritmo utilizado (natural o común) en el cálculo?
2. ¿Qué sucede si el factor de aumento fuera diferente de 7?
3. ¿Cómo interpretarías un número \( n \) mayor que 0 en este contexto?
4. ¿Cómo podemos graficar el comportamiento de la velocidad de la partícula?
5. ¿Cómo influiría un cambio de unidades (minutos a segundos) en el cálculo?

**Tip**: Los logaritmos permiten resolver ecuaciones exponenciales de forma eficiente cuando desconocemos el exponente.

Una partícula tiene una velocidad de 2.401 metros por minuto, si su velocidad aumenta por 7 cada minuto y la velocidad inicial fue de 7 metros por minuto ¿Cuántas veces ha aumentado su velocidad? Recuerda utilizar la logaritmación, para encontrar el exponente.

Discover how to solve an exponential velocity increase problem where a particle's speed grows by a factor of 7 every minute. Learn to apply logarithms to find how many times the velocity increased, based on initial and final speed data.

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