请你详细检查以下建模和求解过程有没有错误### 2.1 问题背景 供应商声称零配件的次品率不超过某个标称值 $ p_0 $，而企业需要通过抽样检测方案来判断是否接收该批次零配件。具体的决策标准包括： 1. 在 95% 的信度下，如果零配件的次品率超过标称值，则拒收该批零配件； 2. 在 90% 的信度下，如果零配件的次品率不超过标称值，则接收该批零配件。 ### 2.2 符号定义 - $ p_0 $：零配件标称次品率（假设为 10%，即 $ p_0 = 0.1 $）； - $ n $：抽样样本的大小； - $ k $：样本中检测出的次品数量； - $ \hat{p} $：样本次品率，即 $ \hat{p} = \frac{k}{n} $； - $ z_{\alpha/2} $：标准正态分布下的临界值； - $ E $：允许误差限（即样本次品率与标称次品率之间的最大允许偏差）； - $ \alpha $：显著性水平，对应不同信度（信度 = $ 1 - \alpha $）。 --- ### 3. 数学模型的建立 #### 3.1 基于正态分布的样本次品率估计 在抽样检测中，样本次品率 $ \hat{p} $ 是总体次品率 $ p $ 的无偏估计量。在大样本条件下，样本次品率 $ \hat{p} $ 近似服从正态分布： $ \hat{p} \sim N\left(p_0, \frac{p_0(1 - p_0)}{n}\right) $ 根据中心极限定理，当 $ n $ 足够大时，样本次品率 $ \hat{p} $ 的标准误差为： $ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}} $ #### 3.2 置信区间的计算 我们通过计算样本次品率的置信区间来判断总体次品率是否超过标称值 $ p_0 $。给定显著性水平 $ \alpha $，对应的置信区间为： $ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}} $ 其中，$ z_{\alpha/2} $ 是标准正态分布在置信水平 $ 1 - \alpha $ 下的临界值。例如，95% 的置信水平对应 $ z_{0.025} = 1.645 $，90% 的置信水平对应 $ z_{0.05} = 1.28 $。 --- ### 4. 检验方案的设计 #### 4.1 拒收方案（95% 信度） 在 95% 的信度下，我们需要确保如果零配件的实际次品率超过标称值 $ p_0 $，企业将拒收该批零配件。我们通过以下不等式判断是否拒收： $ P(\hat{p} > p_0) = 1 - \alpha = 95\% $ 即，样本次品率大于标称次品率时，拒收该批零配件。此时，临界值为： $ z_{\alpha/2} = 1.645 $ 因此，我们需要满足以下条件： $ \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}} > 1.645 $ 解此不等式，我们得到： $ n > \left(\frac{1.645}{E}\right)^2 \cdot p_0(1 - p_0) $ 假设允许误差为 $ E = 0.05 $，结果四舍五入保留整数则： $ n > \left(\frac{1.645}{0.05}\right)^2 \cdot 0.1 \cdot (1 - 0.1) \approx 97 $ 因此，企业需要抽样至少 98 个零配件来判断次品率是否超过标称值。 #### 4.2 接收方案（90% 信度） 在 90% 的信度下，我们需要确保如果零配件的实际次品率不超过标称值 $ p_0 $，企业将接收该批零配件。此时，临界值为： $ z_{\alpha/2} = 1.28 $ 我们要求： $ P(\hat{p} \leq p_0) = 90\% $ 同样解不等式： $ \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}} < 1.28 $ 假设误差限 $ E = 0.05 $，结果四舍五入保留整数则： $ n > \left(\frac{1.28}{0.05}\right)^2 \cdot 0.1 \cdot (1 - 0.1) \approx 59 $ 因此，企业在 90% 的信度下，需要抽样至少 59 个零配件来判断是否接收该批零配件。 --- ### 5. 结果与分析 通过模型推导，我们得出以下抽样检测方案： - 在 95% 的信度下，企业应抽样检测 98 个零配件，若检测出的次品率超过标称值，则拒收； - 在 90% 的信度下，企业应抽样检测 59 个零配件，若检测出的次品率不超过标称值，则接收。 该方案通过正态分布的置信区间进行推断，并在不同的信度下确定了最优的抽样检测次数，以尽可能减少检测成本的同时，保证企业的质量控制目标。如果有错误请你提出并改正