 La masa en gramos de una sustancia radiactiva a los 𝑡 días de iniciada su 
desintegración era 𝐴𝑒 . 
a) Halla 𝐴 y 𝑘 sabiendo que a los dos días la masa era  gramos y a los cinco días 
la masa era  gramos. [𝐴 = 100 y 𝑘 = −2.] 
b) ¿Cuál era la masa a los diez días? [ gramos.]  "resuelve "

Para resolver este problema, seguimos los pasos utilizando la ecuación de desintegración radiactiva:

\[
m(t) = A \cdot e^{kt}
\]

donde:
- \( m(t) \) es la masa en gramos después de \( t \) días.
- \( A \) es la masa inicial.
- \( k \) es la constante de desintegración.

### a) Determinar \( A \) y \( k \)

Sabemos que:
- A los 2 días, \( m(2) = M_2 \) gramos.
- A los 5 días, \( m(5) = M_5 \) gramos.

Usaremos estas dos condiciones para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar \( A \) y \( k \).

#### Paso 1: Escribir las ecuaciones para los días 2 y 5.

\[
M_2 = A \cdot e^{2k}
\]

\[
M_5 = A \cdot e^{5k}
\]

#### Paso 2: Dividir la segunda ecuación por la primera para eliminar \( A \):

\[
\frac{M_5}{M_2} = \frac{A \cdot e^{5k}}{A \cdot e^{2k}} = e^{5k - 2k} = e^{3k}
\]

Esto se puede escribir como:

\[
\frac{M_5}{M_2} = e^{3k}
\]

#### Paso 3: Despejar \( k \):

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:

\[
\ln\left(\frac{M_5}{M_2}\right) = 3k
\]

\[
k = \frac{1}{3} \ln\left(\frac{M_5}{M_2}\right)
\]

#### Paso 4: Sustituir \( k \) en una de las ecuaciones originales para encontrar \( A \).

Sustituyendo \( k \) en la primera ecuación:

\[
M_2 = A \cdot e^{2 \cdot \frac{1}{3} \ln\left(\frac{M_5}{M_2}\right)}
\]

Podemos resolver esto numéricamente cuando se conocen \( M_2 \) y \( M_5 \).

### b) Encontrar la masa después de 10 días

Ya con \( A \) y \( k \) determinados, sustituimos en la ecuación:

\[
m(10) = A \cdot e^{10k}
\]

### Ejemplo numérico:
Si \( A = 100 \) gramos y \( k = -2 \), como se indica en la pregunta:

\[
m(10) = 100 \cdot e^{-2 \cdot 10} = 100 \cdot e^{-20}
\]

\[
m(10) \approx 100 \cdot 2.061 \times 10^{-9} \approx 2.061 \times 10^{-7} \text{ gramos}
\]

Esto indica que la masa sería muy pequeña después de 10 días.

---

¿Tienes alguna pregunta o quieres más detalles? Aquí hay cinco preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo afecta la constante \( k \) negativa al proceso de desintegración?
2. ¿Cuál es el significado físico de \( A \) y \( k \) en la desintegración radiactiva?
3. ¿Cómo se puede determinar \( k \) experimentalmente?
4. ¿Qué pasa con la masa a largo plazo cuando \( k \) es negativo?
5. ¿Cómo se podría extender este modelo para múltiples sustancias radiactivas en desintegración?

**Tip:** Es importante comprender cómo logaritmos y exponentes interactúan en ecuaciones de desintegración para resolver sistemas como el anterior.

Explore how to solve a radioactive decay problem to find the mass of a substance after 10 days using exponential functions and logarithms. Learn step-by-step with detailed calculations based on given initial and subsequent masses.

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