{ c_0 + c_1 + 7c_2 = 0, c_0 + 7c_1 - c_2 = 0, c_1 + c_3 = 0, c_2 = 0 } 

Dado el sistema de ecuaciones:

\[
\begin{aligned}
c_0 + c_1 + 7c_2 &= 0, \\
c_0 + 7c_1 - c_2 &= 0, \\
c_1 + c_3 &= 0, \\
c_2 &= 0,
\end{aligned}
\]

podemos analizar y resolver el sistema paso a paso.

### Paso 1: Sustituir \( c_2 = 0 \) en las demás ecuaciones

Ya que \( c_2 = 0 \), sustituimos este valor en las dos primeras ecuaciones:

\[
\begin{aligned}
c_0 + c_1 + 7(0) &= 0 \Rightarrow c_0 + c_1 = 0, \\
c_0 + 7c_1 - 0 &= 0 \Rightarrow c_0 + 7c_1 = 0.
\end{aligned}
\]

Ahora tenemos el sistema reducido:

\[
\begin{aligned}
c_0 + c_1 &= 0, \\
c_0 + 7c_1 &= 0, \\
c_1 + c_3 &= 0, \\
c_2 &= 0.
\end{aligned}
\]

### Paso 2: Resolver el sistema reducido

Consideremos las dos primeras ecuaciones:

1. \( c_0 + c_1 = 0 \) 
2. \( c_0 + 7c_1 = 0 \)

Restando la primera ecuación de la segunda:

\[
(c_0 + 7c_1) - (c_0 + c_1) = 0 \Rightarrow 6c_1 = 0 \Rightarrow c_1 = 0.
\]

Dado que \( c_1 = 0 \), de la primera ecuación \( c_0 + c_1 = 0 \), obtenemos:

\[
c_0 + 0 = 0 \Rightarrow c_0 = 0.
\]

Entonces, ahora tenemos:

\[
\begin{aligned}
c_0 &= 0, \\
c_1 &= 0, \\
c_2 &= 0.
\end{aligned}
\]

Finalmente, usamos la tercera ecuación \( c_1 + c_3 = 0 \):

\[
0 + c_3 = 0 \Rightarrow c_3 = 0.
\]

### Solución del sistema

El sistema tiene una única solución:

\[
c_0 = 0, \quad c_1 = 0, \quad c_2 = 0, \quad c_3 = 0.
\]

### Conclusión

El sistema es homogéneo y tiene una única solución trivial, lo que indica que el espacio de soluciones es trivial. Esto podría estar relacionado con el análisis de la transformación lineal original, indicando que en este contexto, el núcleo es trivial (dimensión 0), lo cual podría ser parte del análisis para determinar la injectividad o la posibilidad de ser un isomorfismo.

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**¿Hay algo más que desees explorar en este problema?**

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se interpreta la solución trivial en un sistema de ecuaciones lineales?
2. ¿Qué significa que un sistema de ecuaciones tenga una única solución?
3. ¿Cómo se relaciona la solución de un sistema con el concepto de independencia lineal?
4. ¿Qué implicaciones tiene un núcleo trivial en la teoría de transformaciones lineales?
5. ¿Cómo se calcula el rango de una matriz dada una solución trivial del sistema?

**Tip:** La solución trivial en un sistema lineal homogéneo es un fuerte indicio de que las ecuaciones son linealmente dependientes y que el sistema no tiene parámetros libres.

Explore the solution process of a homogeneous linear system involving multiple equations and variables. This detailed analysis covers concepts in linear algebra, including the dimension of the kernel and matrix operations. Suitable for advanced college-level students.

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