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dame la solucion mediante laplace y el resultado final, para que no te confundas es =e^t

Para resolver la ecuación diferencial usando la transformada de Laplace, procedamos paso a paso. La ecuación que se te presenta es:

\[
x'' + 2x' + 5x = e^t, \quad x(0) = 0, \quad x'(0) = 1
\]

### Paso 1: Aplicar la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación

La transformada de Laplace de cada término es:

- \(\mathcal{L}\{x''\} = s^2X(s) - sx(0) - x'(0)\)
- \(\mathcal{L}\{2x'\} = 2[sX(s) - x(0)]\)
- \(\mathcal{L}\{5x\} = 5X(s)\)
- \(\mathcal{L}\{e^t\} = \frac{1}{s-1}\)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial, tenemos:

\[
s^2X(s) - sx(0) - x'(0) + 2[sX(s) - x(0)] + 5X(s) = \frac{1}{s-1}
\]

Sustituyendo las condiciones iniciales \(x(0) = 0\) y \(x'(0) = 1\):

\[
s^2X(s) - 1 + 2sX(s) + 5X(s) = \frac{1}{s-1}
\]

### Paso 2: Simplificar la ecuación

Agrupamos los términos de \(X(s)\):

\[
(s^2 + 2s + 5)X(s) = \frac{1}{s-1} + 1
\]

\[
(s^2 + 2s + 5)X(s) = \frac{1 + (s-1)}{s-1} = \frac{s}{s-1}
\]

Por lo tanto:

\[
X(s) = \frac{s}{(s-1)(s^2 + 2s + 5)}
\]

### Paso 3: Descomposición en fracciones parciales

Descomponemos \(X(s)\) en fracciones parciales:

\[
\frac{s}{(s-1)(s^2 + 2s + 5)} = \frac{A}{s-1} + \frac{Bs + C}{s^2 + 2s + 5}
\]

Multiplicando ambos lados por \((s-1)(s^2 + 2s + 5)\), obtenemos:

\[
s = A(s^2 + 2s + 5) + (Bs + C)(s-1)
\]

Expandiendo y comparando coeficientes:

1. \(A = \frac{1}{4}\)
2. \(B = \frac{1}{4}\)
3. \(C = \frac{1}{4}\)

Por lo tanto:

\[
X(s) = \frac{\frac{1}{4}}{s-1} + \frac{\frac{1}{4}s + \frac{1}{4}}{s^2 + 2s + 5}
\]

### Paso 4: Inversa de Laplace

Ahora aplicamos la transformada inversa de Laplace a cada término:

1. \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1/4}{s-1}\right\} = \frac{1}{4}e^t\)
2. Para la segunda parte, usamos la propiedad para la transformada inversa de \(s\) y un término constante:

\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 + 2s + 5}\right\} = e^{-t}\sin(2t)
\]

Entonces, la solución final es:

\[
x(t) = \frac{1}{4}e^t + \frac{1}{4}e^{-t}\sin(2t)
\]

¿Necesitas más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se obtienen las constantes \(A\), \(B\) y \(C\) en la descomposición en fracciones parciales?
2. ¿Cómo afecta una ecuación diferencial no homogénea la solución usando Laplace?
3. ¿Qué sucede si \(x(0)\) y \(x'(0)\) no son ceros?
4. ¿Cuándo es más adecuado usar la transformada de Laplace en lugar de otros métodos?
5. ¿Cómo se determina la forma de la solución general de \(X(s)\)?
6. ¿Qué papel juegan las raíces del polinomio característico en la solución?
7. ¿Cuál es la importancia de las condiciones iniciales en la solución de ecuaciones diferenciales?
8. ¿Cómo se utiliza la propiedad de traslación en la transformada de Laplace?

### Tip:
Recuerda que la transformada de Laplace es particularmente útil para resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales específicas.

Learn how to solve a differential equation using Laplace transform step-by-step. This detailed guide covers applying Laplace transform, solving with initial conditions, and using partial fraction decomposition. Suitable for university-level students.

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