Considere um sistema de controle t ́ermico em que a varia ̧c ̃ao da temperatura
T(t)  ́e modelada pela equa ̧c ̃ao diferencial de segunda ordem:

d
2T(t)
dt2
+ 5
dT(t)
dt + 6T(t) = 30e
−2t

Neste modelo, T(t) representa a temperatura do sistema em fun ̧c ̃ao do
tempo, e o termo 30e
−2t
corresponde a uma fonte externa de calor que decai

exponencialmente com o tempo.
Dado que a temperatura inicial do sistema  ́e T(0) = 20◦C e que a taxa
inicial de varia ̧c ̃ao da temperatura  ́e zero ( dT(0)

dt = 0), use o M ́etodo da
Decomposi ̧c ̃ao de Laplace para determinar a express ̃ao de T(t) ao longo
do tempo.

Para resolver a equação diferencial de segunda ordem usando o Método da Transformada de Laplace, vamos seguir os seguintes passos:

### Equação Diferencial

Dada a equação diferencial:
\[
\frac{d^2 T(t)}{dt^2} + 5 \frac{dT(t)}{dt} + 6T(t) = 30e^{-2t}
\]
com as condições iniciais:
\[
T(0) = 20 \quad \text{e} \quad \frac{dT(0)}{dt} = 0
\]

### Passo 1: Aplicando a Transformada de Laplace

Aplicamos a Transformada de Laplace na equação diferencial. Para cada termo, temos:

1. \(\mathcal{L}\left\{\frac{d^2 T(t)}{dt^2}\right\}\):
   \[
   \mathcal{L}\left\{\frac{d^2 T(t)}{dt^2}\right\} = s^2 \mathcal{L}\{T(t)\} - sT(0) - \frac{dT(0)}{dt}
   \]
   Como \(T(0) = 20\) e \(\frac{dT(0)}{dt} = 0\):
   \[
   \mathcal{L}\left\{\frac{d^2 T(t)}{dt^2}\right\} = s^2 T(s) - 20s
   \]

2. \(\mathcal{L}\left\{5 \frac{dT(t)}{dt}\right\}\):
   \[
   \mathcal{L}\left\{5 \frac{dT(t)}{dt}\right\} = 5\left(s \mathcal{L}\{T(t)\} - T(0)\right)
   \]
   Como \(T(0) = 20\):
   \[
   \mathcal{L}\left\{5 \frac{dT(t)}{dt}\right\} = 5s T(s) - 100
   \]

3. \(\mathcal{L}\left\{6T(t)\right\}\):
   \[
   \mathcal{L}\left\{6T(t)\right\} = 6T(s)
   \]

4. \(\mathcal{L}\left\{30e^{-2t}\right\}\):
   \[
   \mathcal{L}\left\{30e^{-2t}\right\} = \frac{30}{s + 2}
   \]

### Passo 2: Montando a Equação no Domínio de Laplace

Substituindo todos os termos transformados na equação original:
\[
s^2 T(s) - 20s + 5s T(s) - 100 + 6T(s) = \frac{30}{s + 2}
\]

Agrupando os termos em \(T(s)\):
\[
(s^2 + 5s + 6)T(s) = 20s + 100 + \frac{30}{s + 2}
\]

### Passo 3: Resolvendo para \(T(s)\)

Vamos resolver para \(T(s)\):
\[
T(s) = \frac{20s + 100 + \frac{30}{s + 2}}{s^2 + 5s + 6}
\]

O denominador pode ser fatorado:
\[
s^2 + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3)
\]
Portanto:
\[
T(s) = \frac{20s + 100}{(s + 2)(s + 3)} + \frac{30}{(s + 2)(s + 3)(s + 2)}
\]

Simplificando a primeira fração:
\[
T(s) = \frac{20(s + 5)}{(s + 2)(s + 3)} + \frac{30}{(s + 2)^2(s + 3)}
\]

### Passo 4: Decomposição em Frações Parciais

Decompondo a fração:
\[
T(s) = \frac{A}{s + 2} + \frac{B}{s + 3} + \frac{Cs + D}{(s + 2)^2(s + 3)}
\]
Resolvendo para \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), e substituindo na equação:

\[
T(s) = \frac{-10}{s + 2} + \frac{30}{(s + 2)^2} + \frac{30}{(s + 3)}
\]

### Passo 5: Aplicando a Transformada Inversa de Laplace

Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar \(T(t)\):

1. \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{-10}{s + 2}\right\} = -10e^{-2t}\)
2. \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{30}{(s + 2)^2}\right\} = 30te^{-2t}\)
3. \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{30}{s + 3}\right\} = 30e^{-3t}\)

Portanto, a solução para \(T(t)\) é:
\[
T(t) = -10e^{-2t} + 30te^{-2t} + 30e^{-3t}
\]

### Resumo
A expressão para a temperatura \(T(t)\) ao longo do tempo é:
\[
T(t) = -10e^{-2t} + 30te^{-2t} + 30e^{-3t}
\]

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

---

Aqui estão cinco perguntas relacionadas para expandir o entendimento:

1. Como a equação diferencial original modela o comportamento térmico do sistema?
2. Qual é o significado físico dos termos \(e^{-2t}\) e \(e^{-3t}\) na solução?
3. Como a solução seria diferente se as condições iniciais fossem alteradas?
4. Como o método da Transformada de Laplace pode ser aplicado a outras equações diferenciais?
5. Quais são as limitações do Método da Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais?

**Dica:** Ao lidar com sistemas dinâmicos, entender a interpretação física dos termos na solução pode fornecer insights sobre o comportamento do sistema ao longo do tempo.

Learn how to solve a second order differential equation using Laplace transform method. This detailed solution covers the application of Laplace transforms, including step-by-step calculations and physical interpretations. Suitable for college-level students and engineering enthusiasts.

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