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중학교 1학년이 이해할 수 있도록 풀이해줘

주어진 문제는 삼각형 \(ABC\)에서 \(P\)와 \(Q\)가 선분 \(AC\)의 3등분점인 경우 \(BP^2 + BQ^2 = 10\)일 때, \(AC\)의 길이를 구하는 문제입니다. 중학교 1학년 학생도 이해할 수 있도록 쉽게 풀이해 보겠습니다.

먼저, 문제에서 주어진 정보를 정리해 봅시다:

1. \(P\)와 \(Q\)는 선분 \(AC\)를 3등분하는 점들입니다.
2. 즉, \(P\)와 \(Q\)는 각각 \(A\)와 \(C\) 사이의 거리를 3등분한 점이므로 \(P\)는 \(A\)에서 \(\frac{AC}{3}\)만큼 떨어져 있고, \(Q\)는 \(A\)에서 \(\frac{2AC}{3}\)만큼 떨어져 있습니다.
3. \(BP^2 + BQ^2 = 10\)

이제 이를 바탕으로 문제를 풀어보겠습니다.

### 풀이 단계

1. \(AC\)를 \(x\)라고 둡니다. 그러면 \(AP = \frac{x}{3}\)이고, \(AQ = \frac{2x}{3}\)가 됩니다.
2. \(BP^2\)와 \(BQ^2\)를 구하기 위해 피타고라스 정리를 사용합니다.
   - \(BP\)를 구하기 위해서는 삼각형 \(ABP\)에서의 피타고라스 정리를 사용합니다.
   - \(BQ\)를 구하기 위해서는 삼각형 \(ABQ\)에서의 피타고라스 정리를 사용합니다.

### 각 변의 길이 계산

삼각형 \(ABP\)에서:
- \(AB = 3\)
- \(AP = \frac{x}{3}\)

따라서, \(BP^2 = AB^2 + AP^2 = 3^2 + \left(\frac{x}{3}\right)^2 = 9 + \frac{x^2}{9}\)

삼각형 \(ABQ\)에서:
- \(AB = 3\)
- \(AQ = \frac{2x}{3}\)

따라서, \(BQ^2 = AB^2 + AQ^2 = 3^2 + \left(\frac{2x}{3}\right)^2 = 9 + \frac{4x^2}{9}\)

### 두 값을 더한 식 만들기

문제에서 \(BP^2 + BQ^2 = 10\)이라고 주어졌으므로,

\[ BP^2 + BQ^2 = 9 + \frac{x^2}{9} + 9 + \frac{4x^2}{9} = 10 \]

\[ 18 + \frac{5x^2}{9} = 10 \]

### 식을 풀어 AC의 길이 구하기

양변에서 18을 뺍니다:

\[ \frac{5x^2}{9} = 10 - 18 \]

\[ \frac{5x^2}{9} = -8 \]

이 식이 성립하지 않습니다. 처음에 그림에서 \(BP^2 + BQ^2 = 10\)라고 주어졌으므로 다른 해석을 검토할 필요가 있습니다.

다시 문제를 검토하고 \(BP^2 + BQ^2\) 값을 다시 계산해 봅시다.

### 정확한 값 계산

다시 식을 정리하면:

\[ BP^2 = 9 + \frac{x^2}{9} \]
\[ BQ^2 = 9 + \frac{4x^2}{9} \]

문제에서 주어진 식은:

\[ BP^2 + BQ^2 = 10 \]

따라서, 전체 식을 다시 작성합니다:

\[ 18 + \frac{5x^2}{9} = 10 \]

위 식이 성립하지 않으므로 문제 해석에 대한 재검토가 필요합니다.

---

여기까지 계산이 틀릴 가능성이 있는 부분에 대한 해석이 필요하며, 정확한 문제 해결을 위해 다시 문제와 조건을 확인하는 것이 좋습니다. 문제에서 주어진 조건과 그림을 바탕으로 수학적 계산을 정확히 진행해 보도록 합니다.

도움이 필요하거나 질문이 있으면 언제든지 말씀해 주세요!

### 추가 문제:
1. 삼각형의 각 변의 길이를 구하는 다른 방법은 무엇인가요?
2. 다른 문제에서 \(BP\)와 \(BQ\)를 구하는 방법은 무엇인가요?
3. 삼각형의 중점과 삼등분점의 차이는 무엇인가요?
4. 삼각형의 내접 원의 반지름을 구하는 방법은 무엇인가요?
5. \(BP\)와 \(BQ\)의 길이를 구하는 다른 방법은 무엇인가요?
6. 피타고라스 정리를 이용한 문제를 더 풀어 볼까요?
7. 삼각형의 무게 중심을 구하는 방법은 무엇인가요?
8. 삼각형에서 변의 길이를 이용한 공식은 무엇인가요?

### 팁:
피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립합니다. 문제를 풀 때 삼각형의 종류를 잘 확인하세요.

Understand how to solve a problem involving a triangle where P and Q are points dividing segment AC into thirds. The problem requires calculating the length of segment AC given BP^2 + BQ^2 = 10. Explore step-by-step solutions with clear explanations suitable for middle school grade 1 students.

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