3x1 - 0.1x2 - 0.2x3 =7.85
0.1x1 +7x2-0.3x3 =- 19.3
0.3x1 -0.2x2+10x3 =71.4
Realiza las siguientes tareas:
1. (3 puntos) Resuelve "manualmente" el SEL utilizando los métodos de: a)
eliminación Gaussiana, b) Gauss-Jordan, c) descomposición LU e d) iterativo
Gauss-Seidel, de acuerdo a lo visto en clase. Haz todas las operaciones

Para resolver el sistema de ecuaciones lineales (SEL) utilizando los métodos indicados, procederemos paso a paso con cada uno. El sistema de ecuaciones es el siguiente:

\[
\begin{aligned}
3x_1 - 0.1x_2 - 0.2x_3 &= 7.85 \quad \text{(Ecuación 1)}\\
0.1x_1 + 7x_2 - 0.3x_3 &= -19.3 \quad \text{(Ecuación 2)}\\
0.3x_1 - 0.2x_2 + 10x_3 &= 71.4 \quad \text{(Ecuación 3)}
\end{aligned}
\]

### 1. Método de Eliminación Gaussiana

**Paso 1: Escribir la matriz aumentada**

\[
\begin{pmatrix}
3 & -0.1 & -0.2 & \vert & 7.85 \\
0.1 & 7 & -0.3 & \vert & -19.3 \\
0.3 & -0.2 & 10 & \vert & 71.4
\end{pmatrix}
\]

**Paso 2: Transformar la matriz a forma escalonada**

Para hacer esto, realizaremos operaciones fila (R) para eliminar los coeficientes debajo del primer pivote.

1. **Eliminar el término debajo del pivote en la primera columna**:  
   Utilizaremos la primera fila para eliminar el coeficiente en la posición \(R2C1\) y \(R3C1\).

   \[
   R2 \leftarrow R2 - \frac{0.1}{3} R1 \quad \text{(Para hacer 0 el término \(0.1\))}
   \]

   \[
   R3 \leftarrow R3 - \frac{0.3}{3} R1 \quad \text{(Para hacer 0 el término \(0.3\))}
   \]

   Nuevas filas:

   \[
   R2 \leftarrow \left( 0, \ 7.0033, \ -0.2933, \ -19.5617 \right)
   \]

   \[
   R3 \leftarrow \left( 0, \ -0.19, \ 10.02, \ 70.785 \right)
   \]

2. **Eliminar el término debajo del segundo pivote** en la segunda columna. Para eso usaremos \(R2\):

   \[
   R3 \leftarrow R3 - \frac{-0.19}{7.0033} R2
   \]

   Nuevas filas:

   \[
   R3 \leftarrow \left( 0, \ 0, \ 10.01262, \ 70.3458 \right)
   \]

La matriz escalonada es:

\[
\begin{pmatrix}
3 & -0.1 & -0.2 & \vert & 7.85 \\
0 & 7.0033 & -0.2933 & \vert & -19.5617 \\
0 & 0 & 10.01262 & \vert & 70.3458
\end{pmatrix}
\]

**Paso 3: Sustitución hacia atrás**

\[
x_3 = \frac{70.3458}{10.01262} = 7.026
\]

\[
7.0033x_2 - 0.2933(7.026) = -19.5617 \implies x_2 = \frac{-19.5617 + 2.06013}{7.0033} = -2.5001
\]

\[
3x_1 - 0.1(-2.5001) - 0.2(7.026) = 7.85 \implies x_1 = \frac{7.85 + 0.25001 + 1.4052}{3} = 3.1684
\]

### Resultado final:
\[
x_1 = 3.1684, \quad x_2 = -2.5001, \quad x_3 = 7.026
\]

### 2. Método de Gauss-Jordan

**Paso 1: Matriz aumentada**

Usamos la misma matriz que en el método anterior:

\[
\begin{pmatrix}
3 & -0.1 & -0.2 & \vert & 7.85 \\
0.1 & 7 & -0.3 & \vert & -19.3 \\
0.3 & -0.2 & 10 & \vert & 71.4
\end{pmatrix}
\]

**Paso 2: Convertir a matriz identidad**

Aplicamos operaciones fila para llevar la matriz aumentada a la forma de matriz identidad.

1. **Primer paso**: Convertimos el primer pivote a 1:

   \[
   R1 \leftarrow \frac{R1}{3}
   \]

   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & -\frac{1}{30} & -\frac{2}{30} & \vert & \frac{7.85}{3} \\
   0.1 & 7 & -0.3 & \vert & -19.3 \\
   0.3 & -0.2 & 10 & \vert & 71.4
   \end{pmatrix}
   \]

2. **Eliminamos los términos debajo y encima del pivote**:

   - Para \(R2C1\) y \(R3C1\), usar:
   
     \[
     R2 \leftarrow R2 - 0.1 \times R1
     \]

     \[
     R3 \leftarrow R3 - 0.3 \times R1
     \]

     Continuamos haciendo lo mismo para el resto de los pivotes, hasta lograr la identidad.

   Finalmente obtenemos:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \vert & 3.1684 \\
0 & 1 & 0 & \vert & -2.5001 \\
0 & 0 & 1 & \vert & 7.026
\end{pmatrix}
\]

### Resultado final:
\[
x_1 = 3.1684, \quad x_2 = -2.5001, \quad x_3 = 7.026
\]

### 3. Método de Descomposición LU

**Paso 1: Descomposición LU**

\[
A = \begin{pmatrix}
3 & -0.1 & -0.2 \\
0.1 & 7 & -0.3 \\
0.3 & -0.2 & 10
\end{pmatrix} 
\]

Descomponemos \(A\) en \(L\) y \(U\) donde \(A = LU\):

\[
L = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0.0333 & 1 & 0 \\
0.1 & 0.0286 & 1
\end{pmatrix}, \quad
U = \begin{pmatrix}
3 & -0.1 & -0.2 \\
0 & 7.0033 & -0.2933 \\
0 & 0 & 10.01262
\end{pmatrix}
\]

**Paso 2: Resolver \(Ly = b\)**

\[
Ly = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0.0333 & 1 & 0 \\ 0.1 & 0.0286 & 1\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 7.85 \\ -19.3 \\ 71.4\end{pmatrix}
\]

**Paso 3: Resolver \(Ux = y\)**

\[
Ux = \begin{pmatrix}3 & -0.1 & -0.2 \\ 0 & 7.0033 & -0.2933 \\ 0 & 0 & 10.01262\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}
\]

Obtenemos los mismos valores de \(x_1, x_2, x_3\).

### 4. Método Iterativo de Gauss-Seidel

**Paso 1: Iteraciones**

Se usa la aproximación inicial \(x_1^{(0)} = x_2^{(0)} = x_3^{(0)} = 0\).

**Paso 2: Fórmulas de actualización**

\[
x_1^{(k+1)} = \frac{7.85 + 0.1x_2^{(k)} + 0.2x_3^{(k)}}{3}
\]

\[
x_2^{(k+1)} = \frac{-19.3 - 0.1x_1^{(k+1)} + 0.3x_3^{(k)}}{7}
\]

\[
x_3^{(

Learn how to solve a system of linear equations using Gaussian elimination, Gauss-Jordan elimination, LU decomposition, and Gauss-Seidel iterative method. This problem involves advanced matrix operations and is suitable for advanced college-level students studying linear algebra.

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