Resuelva la siguiente ecuación racional, Indique el/los valor/es que no puede 
tomar la variable.
𝑎)
3
𝑥
−
2
𝑥
2 +
𝑥 − 2
𝑥
= 0
𝑏)
𝑥 + 5
𝑥 − 4
−
𝑥 − 4
𝑥
2 − 4𝑥
= 0
𝑐)
𝑥
2 + 2
𝑥
2 − 4
=
𝑥
𝑥 − 2
𝑑)
𝑥
𝑥
2 − 9
+
1
𝑥 + 3
=
3
𝑥
2 − 9
𝑒)
𝑥 + 5
𝑥 + 1
−
𝑥
2 + 3
𝑥
2 − 1
=
𝑥 − 2
𝑥
2 − 1

Para resolver ecuaciones racionales, es importante primero identificar los valores que hacen que los denominadores sean cero, ya que estos valores no están definidos en el dominio de la función y, por lo tanto, no pueden ser soluciones válidas. Luego, se procede a resolver las ecuaciones como se haría con cualquier ecuación algebraica, simplificando y eliminando los denominadores.

Vamos a resolver cada una de las ecuaciones dadas paso a paso.

### a) 
\[
\frac{3}{x} - \frac{2}{x^2} + \frac{x - 2}{x} = 0
\]

#### Paso 1: Encontrar restricciones
El denominador es \(x\) o \(x^2\), lo que significa que \(x \neq 0\).

#### Paso 2: Multiplicar por el mínimo común denominador (LCD)
El mínimo común denominador es \(x^2\). Multiplicamos toda la ecuación por \(x^2\) para eliminar los denominadores:

\[
x^2 \left( \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2} + \frac{x - 2}{x} \right) = 0
\]
\[
3x - 2 + (x^2 - 2x) = 0
\]

#### Paso 3: Simplificar
\[
x^2 + x - 2 = 0
\]

#### Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática
La factorización de \(x^2 + x - 2 = 0\) es:
\[
(x - 1)(x + 2) = 0
\]

#### Paso 5: Soluciones
Las soluciones son \(x = 1\) y \(x = -2\).

#### Paso 6: Revisar restricciones
El valor \(x = 0\) está excluido, pero no es una solución de la ecuación, por lo que las soluciones finales son \(x = 1\) y \(x = -2\).

---

### b) 
\[
\frac{x + 5}{x - 4} - \frac{x - 4}{x^2 - 4x} = 0
\]

#### Paso 1: Encontrar restricciones
Los denominadores son \(x - 4\) y \(x^2 - 4x = x(x - 4)\), por lo que \(x \neq 4\) y \(x \neq 0\).

#### Paso 2: Simplificar
El segundo denominador puede factorizarse como \(x(x - 4)\), lo que nos lleva a:

\[
\frac{x + 5}{x - 4} - \frac{x - 4}{x(x - 4)} = 0
\]

Multiplicamos todo por el mínimo común denominador, que es \(x(x - 4)\), para eliminar los denominadores:

\[
x(x + 5) - (x - 4) = 0
\]

#### Paso 3: Simplificar
Expandimos y simplificamos:

\[
x^2 + 5x - (x - 4) = 0
\]
\[
x^2 + 5x - x + 4 = 0
\]
\[
x^2 + 4x + 4 = 0
\]

#### Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática
Esta es una ecuación cuadrática perfecta:
\[
(x + 2)^2 = 0
\]

#### Paso 5: Solución
La única solución es \(x = -2\).

#### Paso 6: Revisar restricciones
Los valores \(x = 0\) y \(x = 4\) están excluidos, pero ninguno de ellos es una solución, por lo que la solución final es \(x = -2\).

---

### c) 
\[
\frac{x^2 + 2}{x^2 - 4} = \frac{x}{x - 2}
\]

#### Paso 1: Encontrar restricciones
El denominador \(x^2 - 4\) se factoriza como \((x - 2)(x + 2)\), por lo que \(x \neq 2\) y \(x \neq -2\).

#### Paso 2: Simplificar
Multiplicamos ambos lados por \( (x - 2)(x + 2) \) para eliminar los denominadores:

\[
(x^2 + 2) = x(x + 2)
\]

#### Paso 3: Simplificar
Expandimos:
\[
x^2 + 2 = x^2 + 2x
\]

Restamos \(x^2\) de ambos lados:
\[
2 = 2x
\]

#### Paso 4: Resolver para \(x\)
\[
x = 1
\]

#### Paso 5: Revisar restricciones
Los valores \(x = 2\) y \(x = -2\) están excluidos, pero no son soluciones, por lo que la solución final es \(x = 1\).

---

### d) 
\[
\frac{x}{x^2 - 9} + \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{x^2 - 9}
\]

#### Paso 1: Encontrar restricciones
El denominador \(x^2 - 9\) se factoriza como \((x - 3)(x + 3)\), por lo que \(x \neq 3\) y \(x \neq -3\).

#### Paso 2: Simplificar
Multiplicamos ambos lados por \( (x - 3)(x + 3) \):

\[
x + (x - 3) = 3
\]

#### Paso 3: Simplificar
\[
2x - 3 = 3
\]

#### Paso 4: Resolver para \(x\)
\[
2x = 6
\]
\[
x = 3
\]

#### Paso 5: Revisar restricciones
El valor \(x = 3\) está excluido, por lo que **no hay solución** para esta ecuación.

---

### e) 
\[
\frac{x + 5}{x + 1} - \frac{x^2 + 3}{x^2 - 1} = \frac{x - 2}{x^2 - 1}
\]

#### Paso 1: Encontrar restricciones
El denominador \(x^2 - 1\) se factoriza como \((x - 1)(x + 1)\), por lo que \(x \neq 1\) y \(x \neq -1\).

#### Paso 2: Simplificar
Multiplicamos ambos lados por \( (x - 1)(x + 1) \):

\[
(x + 5)(x - 1) - (x^2 + 3) = (x - 2)
\]

#### Paso 3: Simplificar
Expandimos ambos lados:
\[
(x^2 + 4x - 5) - (x^2 + 3) = x - 2
\]
\[
x^2 + 4x - 5 - x^2 - 3 = x - 2
\]
\[
4x - 8 = x - 2
\]

#### Paso 4: Resolver para \(x\)
\[
3x = 6
\]
\[
x = 2
\]

#### Paso 5: Revisar restricciones
Los valores \(x = 1\) y \(x = -1\) están excluidos, pero no son soluciones, por lo que la solución final es \(x = 2\).

---

### Resumen:
a) \(x = 1, -2\)  
b) \(x = -2\)  
c) \(x = 1\)  
d) No tiene solución  
e) \(x = 2\)

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se factoriza una expresión cuadrática como \(x^2 - 4\)?
2. ¿Por qué es importante encontrar los valores que hacen cero el denominador?
3. ¿Cómo se utilizan las restricciones en una ecuación racional?
4. ¿Cómo se multiplica toda una ecuación por el mínimo común denominador?
5. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática por factorización?

### Tip:
Cuando resuelvas ecuaciones racionales, siempre revisa si alguna solución hace que el denominador sea cero antes de aceptar la respuesta.

Resuelva la siguiente ecuación racional, Indique el/los valor/es que no puede tomar la variable.
a) 3/x - 2/x^2 + (x - 2)/x = 0
b) (x + 5)/(x - 4) - (x - 4)/(x^2 - 4x) = 0
c) (x^2 + 2)/(x^2 - 4) = x/(x - 2)
d) x/(x^2 - 9) + 1/(x + 3) = 3/(x^2 - 9)
e) (x + 5)/(x + 1) - (x^2 + 3)/(x^2 - 1) = (x - 2)/(x^2 - 1)

Learn how to solve rational equations step-by-step and identify excluded values for variables. Explore problems involving factorization, quadratic equations, and rational expressions. Suitable for high school students in Grades 9-12.

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