Una empresa de lámparas gana $84 instalando focos cierto número de días. Si la ganancia diaria por instalar focos fuera de $1 menos, se tendría que trabajar 2 días más para ganar $84. ¿Cuántos días trabaja la empresa para ganar $84?, ¿cuál es la ganancia diaria?

Vamos a resolver el problema planteando ecuaciones para las dos situaciones descritas.

### Definición de variables:
- $ x $ = número de días que la empresa trabaja para ganar $84.
- $ y $ = ganancia diaria de la empresa (en dólares).

### Primera situación:
La empresa gana $84 trabajando $ x $ días con una ganancia diaria de $ y $ dólares:

\[
x \cdot y = 84
\]

### Segunda situación:
Si la ganancia diaria fuera de $1 menos, es decir, $ y - 1 $ dólares, se necesitarían $ x + 2 $ días para ganar los mismos $84:

\[
(x + 2) \cdot (y - 1) = 84
\]

### Sistema de ecuaciones:
Tenemos las siguientes dos ecuaciones:

1. $ x \cdot y = 84 $
2. $ (x + 2) \cdot (y - 1) = 84 $

### Resolución del sistema:

1. De la primera ecuación, podemos despejar $ y $:

\[
y = \frac{84}{x}
\]

2. Sustituyendo $ y $ en la segunda ecuación:

\[
(x + 2) \cdot \left(\frac{84}{x} - 1\right) = 84
\]

3. Simplificando la expresión:

\[
(x + 2) \cdot \left(\frac{84 - x}{x}\right) = 84
\]

4. Multiplicamos ambos lados por $ x $ para eliminar el denominador:

\[
(x + 2) \cdot (84 - x) = 84x
\]

5. Expandimos:

\[
84x - x^2 + 168 - 2x = 84x
\]

6. Simplificamos:

\[
-x^2 - 2x + 168 = 0
\]

7. Multiplicamos la ecuación por -1:

\[
x^2 + 2x - 168 = 0
\]

8. Ahora resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde $ a = 1 $, $ b = 2 $ y $ c = -168 $:

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4(1)(-168)}}{2(1)}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 672}}{2}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{676}}{2}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm 26}{2}
\]

De aquí obtenemos dos posibles valores para $ x $:

\[
x_1 = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{(valor válido)}
\]
\[
x_2 = \frac{-28}{2} = -14 \quad \text{(no válido porque $ x $ debe ser positivo)}
\]

Por lo tanto, $ x = 12 $ días.

9. Ahora, usando $ x = 12 $ para encontrar $ y $:

\[
y = \frac{84}{12} = 7
\]

### Respuesta final:
- **La empresa trabaja 12 días para ganar $84.**
- **La ganancia diaria es de $7.**

¿Te gustaría más detalles sobre los pasos? Si tienes alguna pregunta, no dudes en preguntar.

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se deduce la fórmula cuadrática?
2. ¿Cómo afecta la variación en la ganancia diaria al número de días trabajados?
3. ¿Qué sucede si la ganancia diaria aumenta en lugar de disminuir?
4. ¿Cómo resolverías el problema si la ganancia diaria disminuyera en $2 en lugar de $1?
5. ¿Qué interpretación tendría una solución negativa para $ x $?

**Tip:** Cuando resuelvas ecuaciones cuadráticas, siempre verifica las soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones originales.

Discover how to solve a system of quadratic equations to determine the number of days and daily earnings for a lamp company to make $84. This problem includes key algebraic concepts like quadratic equations and system of equations, suitable for students in Grades 8-10.

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