Una empresa de lámparas gana $84 instalando focos cierto número de días. Si la ganancia diaria por instalar focos fuera de $1 menos, se tendría que trabajar 2 días más para ganar $84. ¿Cuántos días trabaja la empresa para ganar $84?, ¿cuál es la ganancia diaria?

Vamos a resolver este problema paso a paso usando un enfoque algebraico.

### Definición de variables:
- $ x $ = número de días que la empresa trabaja para ganar $84.
- $ y $ = ganancia diaria de la empresa (en dólares).

### Primera situación:
La empresa gana $84 trabajando $ x $ días con una ganancia diaria de $ y $ dólares, por lo tanto:

\[
x \cdot y = 84 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]

### Segunda situación:
Si la ganancia diaria fuera $1 menos, es decir, $ y - 1 $ dólares, la empresa necesitaría $ x + 2 $ días para ganar los mismos $84:

\[
(x + 2) \cdot (y - 1) = 84 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]

### Resolución del sistema de ecuaciones:

1. **Despejamos $ y $ en la Ecuación 1:**

\[
y = \frac{84}{x}
\]

2. **Sustituimos $ y $ en la Ecuación 2:**

\[
(x + 2) \cdot \left(\frac{84}{x} - 1\right) = 84
\]

3. **Simplificamos la expresión:**

\[
(x + 2) \cdot \left(\frac{84 - x}{x}\right) = 84
\]

4. **Multiplicamos ambos lados por $ x $ para eliminar el denominador:**

\[
(x + 2) \cdot (84 - x) = 84x
\]

5. **Expandimos el lado izquierdo:**

\[
84x - x^2 + 168 - 2x = 84x
\]

6. **Simplificamos la ecuación:**

\[
-x^2 - 2x + 168 = 0
\]

7. **Multiplicamos la ecuación por -1 para facilitar la factorización:**

\[
x^2 + 2x - 168 = 0
\]

8. **Resolviendo la ecuación cuadrática:**

Aplicamos la fórmula general:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

donde $ a = 1 $, $ b = 2 $, y $ c = -168 $:

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 + 4 \times 1 \times 168}}{2 \times 1}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 672}}{2}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{676}}{2}
\]

\[
x = \frac{-2 \pm 26}{2}
\]

Esto da dos posibles soluciones:

\[
x_1 = \frac{24}{2} = 12 \quad (\text{solución válida})
\]
\[
x_2 = \frac{-28}{2} = -14 \quad (\text{no válida, ya que $ x $ debe ser positivo})
\]

Por lo tanto, $ x = 12 $ días.

9. **Determinamos $ y $ (la ganancia diaria) utilizando $ x = 12 $:**

\[
y = \frac{84}{12} = 7
\]

### Respuesta final:
- **La empresa trabaja 12 días para ganar $84.**
- **La ganancia diaria es de $7.**

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso? Si tienes alguna pregunta adicional, no dudes en preguntar.

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para explorar más:

1. ¿Qué significado tiene la discriminante en la solución de una ecuación cuadrática?
2. ¿Cómo se obtienen las raíces de una ecuación cuadrática por factorización?
3. ¿Qué impacto tendría aumentar la ganancia diaria en la cantidad de días trabajados?
4. ¿Cómo resolverías el problema si en lugar de reducir la ganancia diaria en $1, se aumentara en $1?
5. ¿Qué otros métodos podrían utilizarse para resolver este tipo de problemas?

**Tip:** Cuando trabajes con ecuaciones cuadráticas, asegúrate de considerar todas las soluciones posibles, pero revisa cuál de ellas tiene sentido en el contexto del problema.

Learn how to solve a real-world problem using quadratic equations. This problem involves determining the number of days a company needs to work to earn $84, given varying daily earnings. The solution covers key algebraic concepts and quadratic equations, suitable for students in Grades 8-10.

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