wie löst man x/x+3 = x+1/6x-2 nach x1 unf x2 auf


Um die Gleichung \( \frac{x}{x+3} = \frac{x+1}{6x-2} \) nach \( x_1 \) und \( x_2 \) zu lösen, folgen wir diesen Schritten:

1. **Bringe die Brüche auf eine gemeinsame Basis:**

   Zunächst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung, um die Brüche zu eliminieren:

   \[
   x(6x-2) = (x+3)(x+1)
   \]

2. **Multipliziere die Ausdrücke aus:**

   Jetzt multiplizieren wir die Terme auf beiden Seiten aus:

   \[
   6x^2 - 2x = x^2 + 4x + 3
   \]

3. **Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung:**

   Nun subtrahieren wir \( x^2 + 4x + 3 \) von beiden Seiten, um die Gleichung zu vereinfachen:

   \[
   6x^2 - 2x - x^2 - 4x - 3 = 0
   \]

   Dies vereinfacht sich zu:

   \[
   5x^2 - 6x - 3 = 0
   \]

4. **Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:**

   Um die Werte von \( x_1 \) und \( x_2 \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel:

   \[
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   \]

   Setze die Koeffizienten \( a = 5 \), \( b = -6 \), und \( c = -3 \) ein:

   \[
   x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(5)(-3)}}{2(5)}
   \]

   \[
   x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{10}
   \]

   \[
   x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{10}
   \]

   \[
   x = \frac{6 \pm 4\sqrt{6}}{10}
   \]

   \[
   x = \frac{3 \pm 2\sqrt{6}}{5}
   \]

   Daher sind die Lösungen:

   \[
   x_1 = \frac{3 + 2\sqrt{6}}{5}, \quad x_2 = \frac{3 - 2\sqrt{6}}{5}
   \]

**Möchtest du eine detailliertere Erklärung oder hast du Fragen?**

Hier sind 5 verwandte Fragen:

1. Wie kann man die Diskriminante einer quadratischen Gleichung bestimmen?
2. Was ist der Unterschied zwischen den reellen und imaginären Lösungen einer quadratischen Gleichung?
3. Wie vereinfacht man die Terme in einer quadratischen Gleichung?
4. Wann sollte man die quadratische Ergänzung anstelle der Mitternachtsformel verwenden?
5. Was sind die Schritte zur Durchführung einer Polynomdivision?

**Tipp:** Es ist immer hilfreich, die Lösungen in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen, um ihre Richtigkeit zu überprüfen.

Learn how to solve the fractional equation x/(x+3) = (x+1)/(6x-2) with a detailed step-by-step solution. This problem involves quadratic equations and fractional equations, covering key concepts in algebraic equations. Suitable for advanced high school students (Grades 10-12).

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