No triângulo retângulo abaixo, 
\[m\angle Q = 60\degree\] e 
\[QR=2\sqrt 3\].
Um triângulo retângulo P Q R. O lado P Q mede x unidades e o lado Q R mede dois raiz quadrada de três unidades. O ângulo Q mede sessenta graus e o ângulo R mede noventa graus.
\[60\degree\]
\[2\sqrt 3\]
\[x\]
\[P\]
\[R\]
\[Q\]
Qual é o comprimento de 
\[PQ\]?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:
(Escolha A)   
\[2\]
A
\[2\]
(Escolha B)   
\[4\]
B
\[4\]
(Escolha C)   
\[6\]
C
\[6\]
(Escolha D)   
\[4\sqrt 3\]
D
\[4\sqrt 3\]
(Escolha E)   
\[12\]
E
\[12\]

Para resolver o problema, vamos utilizar as propriedades dos triângulos retângulos e as relações trigonométricas. Estamos lidando com um triângulo retângulo onde:

- \(\angle Q = 60^\circ\)
- \(QR = 2\sqrt{3}\)

Queremos encontrar o comprimento do lado \(PQ\), que chamaremos de \(x\).

No triângulo retângulo \(PQR\):

- O lado \(QR\) é o lado oposto ao ângulo \(60^\circ\).
- O lado \(PQ\) é o lado adjacente ao ângulo \(60^\circ\).

A relação tangente é dada por:

\[
\tan(\theta) = \frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}
\]

Substituindo os valores:

\[
\tan(60^\circ) = \frac{QR}{PQ} = \frac{2\sqrt{3}}{x}
\]

Sabemos que \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\). Portanto, podemos escrever:

\[
\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{x}
\]

Multiplicando ambos os lados por \(x\) para resolver para \(x\):

\[
x \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
\]

Dividindo ambos os lados por \(\sqrt{3}\):

\[
x = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2
\]

Portanto, o comprimento de \(PQ\) é \(\boxed{2}\).

### Resposta:
**Escolha A) \[2\]**

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, estou à disposição!

### Questões Relativas

1. Qual é a relação entre os lados de um triângulo retângulo \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\)?
2. Como encontrar o comprimento de um lado desconhecido usando funções trigonométricas?
3. O que é a função tangente e como ela é usada em triângulos retângulos?
4. Quais são as propriedades dos ângulos notáveis em triângulos retângulos?
5. Como utilizar a relação seno e cosseno em triângulos retângulos?
6. Como a função tangente se relaciona com os outros lados de um triângulo retângulo?
7. Qual é a importância do ângulo reto em problemas de trigonometria?
8. Quais são as outras funções trigonométricas que podem ser usadas para resolver problemas semelhantes?

### Dica

Em triângulos retângulos, os ângulos de \(30^\circ\), \(60^\circ\) e \(90^\circ\) formam proporções conhecidas: o lado oposto a \(30^\circ\) é metade da hipotenusa, e o lado oposto a \(60^\circ\) é \(\sqrt{3}\) vezes o lado oposto a \(30^\circ\).

Learn how to find the length of side PQ in a right triangle where angle Q = 60 degrees and side QR = 2√3. This problem uses trigonometric properties and the tangent function in a 30-60-90 triangle.

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