
Ayudame a resolver la siguiente ecuación diferencial

(x-1)(x-2)ydy = x(1-y²)dx obtenga la solución particular que pase por el punto (4.91,0.503), y obtenga el valor de
cuando x= 5, ese valor es el que escribirá abajo hasta con 4 decimales. Nota, deberán calcular el valor de  y para la raíz cuadrada positiva.

Vamos a resolver la ecuación diferencial dada:

\[
(x-1)(x-2)y \, dy = x(1-y^2) \, dx
\]

## Paso 1: Reorganizar la ecuación

Primero, reorganizamos la ecuación para tenerla en una forma separable. Dividimos ambos lados por \((x-1)(x-2)y\) y por \(x(1 - y^2)\), de modo que obtenemos:

\[
\frac{y}{1 - y^2} \, dy = \frac{x}{(x-1)(x-2)} \, dx
\]

Ahora tenemos los términos de \(y\) en un lado y los términos de \(x\) en el otro, listos para integrarse.

## Paso 2: Integración del lado de \(y\)

La integral del lado izquierdo es:

\[
\int \frac{y}{1 - y^2} \, dy
\]

Podemos utilizar una sustitución \( u = 1 - y^2 \), lo que implica \( du = -2y \, dy \). Así, la integral se convierte en:

\[
\int \frac{y}{1 - y^2} \, dy = -\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = -\frac{1}{2} \ln|u| = -\frac{1}{2} \ln|1 - y^2|
\]

Por lo tanto, la integral del lado izquierdo es:

\[
-\frac{1}{2} \ln|1 - y^2|
\]

## Paso 3: Integración del lado de \(x\)

La integral del lado derecho es:

\[
\int \frac{x}{(x-1)(x-2)} \, dx
\]

Usamos fracciones parciales para resolver esta integral. Primero expresamos:

\[
\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}
\]

Multiplicamos ambos lados por \((x-1)(x-2)\) y resolvemos el sistema para \(A\) y \(B\):

\[
x = A(x-2) + B(x-1)
\]

Al expandir y agrupar términos:

\[
x = A(x) - 2A + B(x) - B
\]
\[
x = (A + B)x - (2A + B)
\]

Comparando coeficientes:

\[
A + B = 1 \quad \text{y} \quad -2A - B = 0
\]

Resolviendo este sistema, obtenemos \(A = 1\) y \(B = 0\). Por lo tanto, la integral se convierte en:

\[
\int \frac{x}{(x-1)(x-2)} \, dx = \int \frac{1}{x-1} \, dx = \ln|x-1|
\]

## Paso 4: Solución general

Después de integrar ambos lados, obtenemos:

\[
-\frac{1}{2} \ln|1 - y^2| = \ln|x-1| + C
\]

Multiplicamos todo por \(-2\) para simplificar:

\[
\ln|1 - y^2| = -2 \ln|x-1| - 2C
\]

Donde \(2C\) es una constante arbitraria, podemos escribirlo como \(C'\). Entonces:

\[
\ln|1 - y^2| = \ln\left(\frac{C'}{(x-1)^2}\right)
\]

Quitando los logaritmos:

\[
1 - y^2 = \frac{C'}{(x-1)^2}
\]

Finalmente, despejamos \(y\):

\[
y = \sqrt{1 - \frac{C'}{(x-1)^2}}
\]

## Paso 5: Usar la condición inicial

Ahora usamos el punto \((x, y) = (4.91, 0.503)\) para encontrar \(C'\). Sustituyendo en la ecuación:

\[
0.503 = \sqrt{1 - \frac{C'}{(4.91 - 1)^2}}
\]

Calculamos \(4.91 - 1 = 3.91\), y luego resolvemos para \(C'\). Después de encontrar \(C'\), calculamos el valor de \(y\) para \(x = 5\).

Voy a realizar estos cálculos.El valor de \( y \) cuando \( x = 5 \) es aproximadamente:

\[
y \approx 0.5350
\]

Si tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles sobre los pasos, ¡hazmelo saber!

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se utilizan las fracciones parciales en la integración?
2. ¿Qué métodos existen para resolver ecuaciones diferenciales no separables?
3. ¿Cómo afectan las condiciones iniciales en la solución de ecuaciones diferenciales?
4. ¿Qué técnicas se pueden usar para verificar soluciones de ecuaciones diferenciales?
5. ¿Qué diferencias hay entre una solución particular y una solución general?

**Tip**: Siempre verifica la validez de las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original.

Ayudame a resolver la siguiente ecuación diferencial (x-1)(x-2)ydy = x(1-y²)dx obtenga la solución particular que pase por el punto (4.91,0.503), y obtenga el valor de cuando x= 5, ese valor es el que escribirá abajo hasta con 4 decimales. Nota, deberán calcular el valor de y para la raíz cuadrada positiva.

Learn how to solve the differential equation (x-1)(x-2)y dy = x(1-y²) dx using the method of separation of variables and partial fractions. This detailed guide includes finding the particular solution passing through the point (4.91, 0.503) and calculating the value of y at x=5 with up to four decimal places.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation