已知复数z+他的共轭复数=1；则|z+1|-|z-i|的取值范围是？

我们从头开始分析这个问题。

### 1. 已知条件
复数 \( z \) 加上它的共轭复数等于 1:
\[
z + \overline{z} = 1
\]
设复数 \( z = x + yi \)，其中 \( x \) 和 \( y \) 是实数。则 \( \overline{z} = x - yi \)。

代入已知条件:
\[
(x + yi) + (x - yi) = 1
\]
这意味着 \( 2x = 1 \)，所以 \( x = \frac{1}{2} \)。

因此，复数 \( z \) 可以表示为：
\[
z = \frac{1}{2} + yi
\]

### 2. 要求的表达式
我们要求 \( |z + 1| - |z - i| \) 的取值范围。

首先计算 \( |z + 1| \)：
\[
z + 1 = \left(\frac{1}{2} + yi\right) + 1 = \frac{3}{2} + yi
\]
\[
|z + 1| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + y^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + y^2}
\]

然后计算 \( |z - i| \)：
\[
z - i = \left(\frac{1}{2} + yi\right) - i = \frac{1}{2} + (y - 1)i
\]
\[
|z - i| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + (y - 1)^2}
\]

因此，我们要求 \( |z + 1| - |z - i| \) 的取值范围：
\[
|z + 1| - |z - i| = \sqrt{\frac{9}{4} + y^2} - \sqrt{\frac{1}{4} + (y - 1)^2}
\]

### 3. 分析表达式
令 \( f(y) = \sqrt{\frac{9}{4} + y^2} - \sqrt{\frac{1}{4} + (y - 1)^2} \)，我们来分析该函数的取值范围。

#### (1) 当 \( y = 1 \) 时:
\[
f(1) = \sqrt{\frac{9}{4} + 1^2} - \sqrt{\frac{1}{4} + (1 - 1)^2} = \sqrt{\frac{13}{4}} - \frac{1}{2}
\]

#### (2) 当 \( y \) 趋于无穷大或无穷小时：
- 当 \( y \) 趋于无穷大时，两个平方根部分的差值趋近于0，因此 \( f(y) \) 也趋近于 0。
- 当 \( y \) 取较小值时， \( |z + 1| - |z - i| \) 的值会变大。

根据以上分析，我们知道该函数的最小值为 0，当 \( y \) 取极限值时，函数的极限也为0。结合 \( y = 1 \) 时计算得到的结果，函数的最大值为：
\[
f(1) = \sqrt{\frac{13}{4}} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}
\]

### 4. 结论
综上所述，\( |z + 1| - |z - i| \) 的取值范围为：
\[
\left[0, \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}\right]
\]

如果有其他问题或需要进一步解释，请告诉我！

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学习如何解决复数问题：已知复数z加上它的共轭复数等于1的详细步骤和解答。本问题涵盖了复数的模、复数的加法和复数方程的重要概念。适合大学级别的数学学习。

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