已知复数z+他的共轭复数=1；则|z+1|-|z-i|的取值范围是？

设复数 \( z = x + yi \)，其中 \( x \) 和 \( y \) 是实数，且 \( z \) 的共轭复数为 \( \overline{z} = x - yi \)。

根据题意，已知 \( z + \overline{z} = 1 \)，则：
\[
z + \overline{z} = (x + yi) + (x - yi) = 2x
\]
所以 \( 2x = 1 \)，因此 \( x = \frac{1}{2} \)。

于是，复数 \( z \) 可以表示为：
\[
z = \frac{1}{2} + yi
\]

我们要求的是 \( |z + 1| - |z - i| \) 的取值范围。

首先计算 \( |z + 1| \)：
\[
z + 1 = \left(\frac{1}{2} + yi\right) + 1 = \frac{3}{2} + yi
\]
\[
|z + 1| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + y^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + y^2}
\]

再计算 \( |z - i| \)：
\[
z - i = \left(\frac{1}{2} + yi\right) - i = \frac{1}{2} + (y - 1)i
\]
\[
|z - i| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + (y - 1)^2}
\]

我们要求 \( |z + 1| - |z - i| \) 的取值范围：
\[
|z + 1| - |z - i| = \sqrt{\frac{9}{4} + y^2} - \sqrt{\frac{1}{4} + (y - 1)^2}
\]

设函数 \( f(y) = \sqrt{\frac{9}{4} + y^2} - \sqrt{\frac{1}{4} + (y - 1)^2} \)，我们需要求此函数的取值范围。

由于 \( y \) 可以取任意实数，我们需要分析函数 \( f(y) \) 的极值以及它的极限。

通过分析可得，\( f(y) \) 的极值出现在 \( y = 1 \) 时，此时 \( f(1) = \sqrt{\frac{9}{4} + 1} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} - \frac{1}{2} \)。同时， \( y \) 趋向无穷时，\( f(y) \) 会趋向无穷，而 \( y \) 趋向负无穷时，\( f(y) \) 会趋向 \( 0 \) 。

所以 \( |z + 1| - |z - i| \) 的取值范围是：
\[
\left[0, \sqrt{\frac{13}{4}} - \frac{1}{2} \right)
\]

如果有其他问题或需要进一步解释，请告诉我！

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**相关问题**:
1. 复数的共轭复数有哪些性质？
2. 复数模的几何意义是什么？
3. 如何求复数的模？
4. 复数的模和实数之间有什么关系？
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6. 对复数进行平移运算对其模有何影响？
7. 若已知两个复数的模，如何求它们之差的模？
8. 求极值的方法有哪些，如何运用于复数问题中？

**提示**: 在复数平面上，复数的加减运算可以看作是向量的平移，这有助于理解复数的几何意义。

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