En lenguaje algebraico, la solución del sistema de ecuaciones sería:

Dado el sistema:

\[
\begin{aligned}
x^2 + y^2 &= 8, \\
x^2 - xy + 2y^2 &= 16,
\end{aligned}
\]

### Procedimiento algebraico

1. **Primera ecuación:** \( x^2 + y^2 = 8 \)  
   Despejamos \( x^2 \):
   \[
   x^2 = 8 - y^2.
   \]

2. **Sustituimos \( x^2 \) en la segunda ecuación:**
   \[
   x^2 - xy + 2y^2 = 16 \implies (8 - y^2) - xy + 2y^2 = 16.
   \]

3. **Simplificamos la ecuación:**
   \[
   8 - y^2 - xy + 2y^2 = 16 \implies y^2 - xy = 8.
   \]

4. **Factorizamos:**
   \[
   y(y - x) = 8.
   \]

5. **Resolvemos simultáneamente las ecuaciones:**

   El sistema resultante es:
   \[
   \begin{aligned}
   x^2 &= 8 - y^2, \\
   y(y - x) &= 8.
   \]

   Esto da como soluciones:

   \[
   (x, y) = (-2, 2), \ (0, -2\sqrt{2}), \ (0, 2\sqrt{2}), \ (2, -2).
   \]

¿Te gustaría más detalles sobre este procedimiento o algún paso específico?

Aquí te dejo 5 preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo puedes verificar estas soluciones substituyéndolas en las ecuaciones originales?
2. ¿Cómo se interpretan las soluciones en el plano cartesiano?
3. ¿Qué otras técnicas algebraicas puedes usar para resolver sistemas de ecuaciones no lineales?
4. ¿Cómo afecta el hecho de que las ecuaciones sean cuadráticas al número de soluciones posibles?
5. ¿Qué papel juega la factorización en la resolución de sistemas no lineales?

**Consejo:** En sistemas no lineales, es común que existan varias soluciones; analiza todas las posibilidades gráficamente y algebraicamente.

Explore the algebraic solution of a non-linear system of equations using step-by-step methods. Understand how to solve equations involving quadratic terms and simultaneous equations. Suitable for advanced high school students and anyone interested in algebraic problem-solving.

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