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주어진 시스템 연립방정식은 다음과 같습니다:

\[
3a + b = 0
\]
\[
7a + b = 1
\]
\[
a + c^2 = 8
\]

이제 각 변수 \(a\), \(b\), \(c\)를 구해보겠습니다.

### 1. \(a\)와 \(b\) 구하기

먼저 \(b\)를 없애기 위해 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 뺍니다:

\[
(7a + b) - (3a + b) = 1 - 0
\]

\[
4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}
\]

이제 \(a\) 값을 첫 번째 방정식에 대입하여 \(b\)를 구합니다:

\[
3\left(\frac{1}{4}\right) + b = 0
\]

\[
\frac{3}{4} + b = 0 \implies b = -\frac{3}{4}
\]

### 2. \(c\) 구하기

\(a = \frac{1}{4}\) 값을 세 번째 방정식에 대입합니다:

\[
\frac{1}{4} + c^2 = 8
\]

\[
c^2 = 8 - \frac{1}{4} = \frac{32}{4} - \frac{1}{4} = \frac{31}{4}
\]

\[
c = \pm \sqrt{\frac{31}{4}} = \pm \frac{\sqrt{31}}{2}
\]

### 결론

따라서 구한 값들은 다음과 같습니다:

\[
a = \frac{1}{4}, \quad b = -\frac{3}{4}, \quad c = \pm \frac{\sqrt{31}}{2}
\]

궁금한 점이나 추가 설명이 필요하신가요?

---

### 추가 질문:
1. 이 결과를 그래프로 표현할 수 있을까요?
2. 이 방정식을 행렬로 표현하면 어떻게 될까요?
3. 다른 방법으로 이 방정식을 풀 수 있을까요?
4. \(c\)가 양수일 때와 음수일 때의 차이를 설명해 줄 수 있나요?
5. \(a\), \(b\), \(c\)의 값을 사용하여 방정식을 검산할 수 있을까요?
6. \(a\) 값이 다른 값으로 주어진다면, \(b\)와 \(c\)는 어떻게 달라질까요?
7. 이 방정식들이 일차 함수인지 이차 함수인지 설명해 줄 수 있나요?
8. 복소수 해를 찾으려면 어떻게 해야 하나요?

### 팁:
방정식을 풀 때 차수를 잘 파악하면 더욱 정확하게 문제를 해결할 수 있습니다.

Learn how to solve a system of linear and quadratic equations step-by-step. This problem involves linear equations with two variables and a quadratic equation with a variable. Suitable for high school students studying algebra and systems of equations.

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