Resolver la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli:

 s´+7s=rs7

La ecuación diferencial que has proporcionado es de la forma:

\[
s' + 7s = rs^7
\]

Esta es una ecuación diferencial de Bernoulli. La forma general de una ecuación de Bernoulli es:

\[
y' + P(x)y = Q(x)y^n
\]

Para resolverla, se sigue este procedimiento:

### 1. **Reescribir la ecuación en forma estándar de Bernoulli:**

La ecuación dada es:

\[
s' + 7s = rs^7
\]

Aquí, \(P(x) = 7\), \(Q(x) = r\), y \(n = 7\).

### 2. **Dividir la ecuación por \(s^7\) (si \(n \neq 0\) y \(n \neq 1\)):**

Para convertir la ecuación en lineal, dividimos toda la ecuación por \(s^7\):

\[
\frac{s'}{s^7} + 7\frac{s}{s^7} = r
\]

Esto se simplifica a:

\[
s^{-7}s' + 7s^{-6} = r
\]

### 3. **Sustitución:**

Sea \(v = s^{1-n} = s^{1-7} = s^{-6}\). Entonces:

\[
\frac{dv}{dx} = -6s^{-7}s'
\]

Por lo tanto, \(s^{-7}s' = -\frac{1}{6} \frac{dv}{dx}\).

Sustituyendo esto en la ecuación:

\[
-\frac{1}{6} \frac{dv}{dx} + 7v = r
\]

Multiplicamos por \(-6\) para simplificar:

\[
\frac{dv}{dx} - 42v = -6r
\]

### 4. **Resolver la ecuación diferencial lineal:**

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma:

\[
\frac{dv}{dx} - 42v = -6r
\]

La solución general para una ecuación diferencial de la forma \(v' + Pv = Q\) es:

\[
v(x) = e^{-\int P(x)dx} \left( \int e^{\int P(x)dx} Q(x)dx + C \right)
\]

Aquí, \(P(x) = -42\) y \(Q(x) = -6r\).

- El factor integrante es \(e^{-\int -42 dx} = e^{42x}\).
- La solución particular se obtiene integrando:

\[
v(x) = e^{42x} \left( \int e^{-42x}(-6r) dx + C \right)
\]

Esto depende de si \(r\) es una constante o una función de \(x\), pero si asumimos que \(r\) es constante, resolvemos la integral:

\[
v(x) = e^{42x} \left( \frac{6r}{42} e^{-42x} + C \right) = \frac{r}{7} + Ce^{42x}
\]

### 5. **Volver a la variable original \(s\):**

Recordemos que \(v = s^{-6}\), por lo que:

\[
s^{-6} = \frac{r}{7} + Ce^{42x}
\]

Finalmente, tomando la raíz:

\[
s(x) = \left( \frac{r}{7} + Ce^{42x} \right)^{-\frac{1}{6}}
\]

Esta es la solución general de la ecuación diferencial de Bernoulli.

¿Te gustaría más detalles o alguna explicación adicional?

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Qué sucede si \(r\) no es constante, sino una función de \(x\)?
2. ¿Cómo se resuelve una ecuación de Bernoulli cuando \(n = 0\) o \(n = 1\)?
3. ¿Qué es una ecuación diferencial exacta y cómo se diferencia de la ecuación de Bernoulli?
4. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver ecuaciones diferenciales no lineales?
5. ¿Cómo influye la elección de condiciones iniciales en la solución de una ecuación diferencial?

**Tip:** Al resolver ecuaciones de Bernoulli, es importante recordar la sustitución \(v = s^{1-n}\) para convertirla en una ecuación diferencial lineal.

Resolver la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli: s´+7s=rs7

Explora cómo resolver la ecuación diferencial de Bernoulli s' + 7s = rs^7 paso a paso. Este problema involucra ecuaciones diferenciales, la técnica de sustitución de variables y el uso del método Bernoulli, apropiado para estudiantes universitarios.

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