r= 6sinθ 의 내부와  r=2+2sinθ 의 외부로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해줘

주어진 두 극좌표 방정식에서, \( r = 6 \sin \theta \)의 내부와 \( r = 2 + 2 \sin \theta \)의 외부로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 문제를 해결하려면 다음 단계를 따릅니다.

1. **극좌표 그래프 분석**:
    - \( r = 6 \sin \theta \): 이는 원점에서 중심을 기준으로 \( y \)-축을 따라 위치한 원입니다. 반지름은 3이고, 위쪽 반원입니다.
    - \( r = 2 + 2 \sin \theta \): 이는 심장 모양의 곡선(카르디오이드)을 나타냅니다.

2. **교점 찾기**:
    두 곡선의 교점을 찾기 위해 \( r = 6 \sin \theta \)와 \( r = 2 + 2 \sin \theta \)를 같다고 놓습니다.
    \[
    6 \sin \theta = 2 + 2 \sin \theta
    \]
    양 변에서 \( 2 \sin \theta \)를 빼면,
    \[
    4 \sin \theta = 2
    \]
    \[
    \sin \theta = \frac{1}{2}
    \]
    따라서 \( \theta = \frac{\pi}{6} \)입니다.

3. **넓이 공식 사용**:
    두 곡선 사이의 넓이는 극좌표에서 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다:
    \[
    A = \frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \left( r_{\text{외부}}^2 - r_{\text{내부}}^2 \right) d\theta
    \]
    여기서 \( \theta_1 = 0 \)부터 \( \theta_2 = \frac{\pi}{6} \)까지 통합을 수행합니다.

    - 외부 곡선은 \( r = 2 + 2 \sin \theta \),
    - 내부 곡선은 \( r = 6 \sin \theta \).

4. **적분 설정**:
    \[
    A = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \left[ \left( 2 + 2 \sin \theta \right)^2 - \left( 6 \sin \theta \right)^2 \right] d\theta
    \]
    이 식을 풀어 계산하면 두 곡선 사이의 넓이를 구할 수 있습니다.

    우선 계산해야 할 부분은:
    \[
    (2 + 2 \sin \theta)^2 = 4 + 8 \sin \theta + 4 \sin^2 \theta
    \]
    \[
    (6 \sin \theta)^2 = 36 \sin^2 \theta
    \]
    따라서 넓이 적분식은:
    \[
    A = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \left( 4 + 8 \sin \theta + 4 \sin^2 \theta - 36 \sin^2 \theta \right) d\theta
    \]
    \[
    A = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \left( 4 + 8 \sin \theta - 32 \sin^2 \theta \right) d\theta
    \]
    이제 이 적분을 수행하면 됩니다.

5. **적분 수행 및 계산**:

    \[
    \int_0^{\frac{\pi}{6}} 4 \, d\theta = 4 \times \frac{\pi}{6}
    \]
    \[
    \int_0^{\frac{\pi}{6}} 8 \sin \theta \, d\theta = -8 \cos \theta \Big|_0^{\frac{\pi}{6}} = -8 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right)
    \]
    \[
    \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \left( 1 - \cos(2\theta) \right) d\theta = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3} \right)
    \]

    위 적분 결과를 모두 더해주면 두 곡선 사이의 넓이를 구할 수 있습니다.

이 계산을 마치면 최종적으로 구하고자 하는 영역의 넓이를 얻을 수 있습니다.

궁금한 점이나 더 알고 싶은 세부 사항이 있으신가요?

### 추가 질문:
1. 극좌표에서의 넓이 공식은 어떻게 유도되나요?
2. 카르디오이드와 원의 교점을 더 자세히 설명해 줄 수 있나요?
3. \( r = 6 \sin \theta \)와 \( r = 2 + 2 \sin \theta \)의 극좌표 그래프는 어떻게 생겼나요?
4. \( \sin \theta = \frac{1}{2} \)일 때 각도를 어떻게 구하나요?
5. 이 문제를 직교 좌표계로 변환하여 풀 수 있을까요?

### 팁:
극좌표에서 곡선 사이의 넓이를 구할 때는 반드시 각 곡선의 교점을 먼저 정확히 구하고, 그 교점을 기준으로 적분 범위를 설정하는 것이 중요합니다.

This solution explains how to calculate the area between the polar curves r = 6sinθ and r = 2 + 2sinθ. Learn the step-by-step process, including finding the points of intersection and applying the area formula for polar coordinates. Suitable for undergraduate math students.

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