Hallar el polinomio 𝑇(𝑥) mónico, de grado 4 que tenga a 2 como raíz doble, −2 como raíz simple y tal que 𝑇(−1) = 18. Justificar.

Para hallar el polinomio \( T(x) \) mónico de grado 4 que cumple con las condiciones dadas, seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Determinar la forma general del polinomio

Sabemos que el polinomio tiene:
- \( x = 2 \) como raíz doble, lo que implica que el factor \( (x - 2)^2 \) aparece en \( T(x) \).
- \( x = -2 \) como raíz simple, lo que implica que el factor \( (x + 2) \) aparece en \( T(x) \).

El polinomio \( T(x) \) tiene entonces la siguiente forma general:

\[
T(x) = a(x - 2)^2(x + 2)(x - r)
\]

donde \( r \) es otra raíz que aún no conocemos, y \( a \) es una constante que ajustaremos para que el polinomio sea mónico (es decir, el coeficiente del término de mayor grado sea 1).

### Paso 2: Usar la condición \( T(-1) = 18 \)

Para encontrar \( r \) y \( a \), utilizamos la condición adicional \( T(-1) = 18 \).

Primero, sustituimos \( x = -1 \) en la forma general del polinomio:

\[
T(-1) = a(-1 - 2)^2(-1 + 2)(-1 - r)
\]

Calculamos cada uno de los factores:

- \( (-1 - 2)^2 = (-3)^2 = 9 \)
- \( (-1 + 2) = 1 \)
- \( (-1 - r) = -(r + 1) \)

Por lo tanto:

\[
T(-1) = a \cdot 9 \cdot 1 \cdot -(r + 1) = -9a(r + 1)
\]

Sabemos que \( T(-1) = 18 \), así que:

\[
-9a(r + 1) = 18
\]

Dividimos ambos lados entre \(-9\):

\[
a(r + 1) = -2
\]

### Paso 3: Usar la condición mónica del polinomio

El polinomio debe ser mónico, lo que significa que el coeficiente del término de mayor grado (en este caso, \( x^4 \)) debe ser 1. Observamos que la forma general de \( T(x) \) tiene un término de grado 4 dado por \( a \cdot x^4 \). Para que \( T(x) \) sea mónico, necesitamos que \( a = 1 \).

Sustituyendo \( a = 1 \) en la ecuación anterior:

\[
1(r + 1) = -2
\]

Por lo tanto, \( r + 1 = -2 \), y de aquí:

\[
r = -3
\]

### Paso 4: Determinar el polinomio final

Sustituyendo \( r = -3 \) y \( a = 1 \) en la forma general del polinomio, tenemos:

\[
T(x) = (x - 2)^2(x + 2)(x + 3)
\]

### Paso 5: Verificar la condición \( T(-1) = 18 \)

Verifiquemos si \( T(-1) = 18 \) usando esta forma del polinomio:

\[
T(-1) = (-1 - 2)^2(-1 + 2)(-1 + 3) = (-3)^2 \cdot 1 \cdot 2 = 9 \cdot 1 \cdot 2 = 18
\]

Así que la condición \( T(-1) = 18 \) se cumple.

### Conclusión

El polinomio mónico de grado 4 que cumple con las condiciones dadas es:

\[
T(x) = (x - 2)^2(x + 2)(x + 3)
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina si una raíz es doble o simple en un polinomio?
2. ¿Qué significa que un polinomio sea mónico?
3. ¿Cómo influye el valor de \( a \) en un polinomio si no es mónico?
4. ¿Por qué usamos la condición \( T(-1) = 18 \) para encontrar el polinomio?
5. ¿Cómo se factoriza un polinomio si las raíces no son conocidas directamente?

### Tip: 
Un polinomio mónico tiene un coeficiente principal de 1 en el término de mayor grado, lo que simplifica la búsqueda de sus coeficientes.

Discover how to find the monic polynomial T(x) of degree 4 that has a double root at x = 2, a simple root at x = -2, and satisfies T(-1) = 18. This solution explains key polynomial concepts and step-by-step justification. Suitable for students in Grades 10-12.

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