hallar el volumen del solido de revolucion al girar y=x^2+1, y=x+3 alrededor del eje x. usa el metodo de las arandelas

Para hallar el volumen del sólido de revolución que se forma al girar las curvas \( y = x^2 + 1 \) y \( y = x + 3 \) alrededor del eje \( x \) usando el **método de las arandelas**, se siguen los siguientes pasos:

### 1. Determinar los puntos de intersección
Primero, debemos encontrar los puntos donde las curvas se intersectan, lo que nos dará los límites de integración. Para ello, igualamos las dos ecuaciones:

\[
x^2 + 1 = x + 3
\]

Reordenamos la ecuación:

\[
x^2 - x - 2 = 0
\]

Factoreamos la ecuación cuadrática:

\[
(x - 2)(x + 1) = 0
\]

Por lo tanto, los puntos de intersección son \( x = 2 \) y \( x = -1 \).

### 2. Fórmula del método de las arandelas
La fórmula del método de las arandelas para girar alrededor del eje \( x \) es:

\[
V = \pi \int_{a}^{b} \left( R(x)^2 - r(x)^2 \right) dx
\]

donde:
- \( R(x) \) es la función que representa el radio exterior,
- \( r(x) \) es la función que representa el radio interior,
- \( a \) y \( b \) son los límites de integración (los puntos de intersección de las curvas).

### 3. Determinar \( R(x) \) y \( r(x) \)
- El **radio exterior** \( R(x) \) será la curva más alejada del eje \( x \), que en este caso es \( y = x + 3 \).
- El **radio interior** \( r(x) \) será la curva más cercana al eje \( x \), que es \( y = x^2 + 1 \).

### 4. Aplicar los límites de integración y la fórmula
Los límites de integración son \( x = -1 \) y \( x = 2 \). Ahora sustituimos en la fórmula:

\[
V = \pi \int_{-1}^{2} \left[ (x + 3)^2 - (x^2 + 1)^2 \right] dx
\]

### 5. Expandir y simplificar
Primero expandimos ambas expresiones:

\[
(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9
\]
\[
(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
V = \pi \int_{-1}^{2} \left[ (x^2 + 6x + 9) - (x^4 + 2x^2 + 1) \right] dx
\]

Simplificamos:

\[
V = \pi \int_{-1}^{2} \left( -x^4 - x^2 + 6x + 8 \right) dx
\]

### 6. Calcular la integral
Ahora integramos cada término:

\[
V = \pi \left[ \frac{-x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 8x \right]_{-1}^{2}
\]

### 7. Evaluar los límites
Evaluamos la expresión en \( x = 2 \) y \( x = -1 \):

- Para \( x = 2 \):
\[
\frac{-2^5}{5} - \frac{2^3}{3} + 3(2^2) + 8(2) = \frac{-32}{5} - \frac{8}{3} + 12 + 16
\]

- Para \( x = -1 \):
\[
\frac{-(-1)^5}{5} - \frac{(-1)^3}{3} + 3(-1)^2 + 8(-1) = \frac{1}{5} - \frac{-1}{3} + 3 - 8
\]

Evaluamos ambas y restamos para obtener el volumen total. Te ayudaré a calcular los valores exactos en el siguiente paso.

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Aprende a calcular el volumen de un sólido de revolución girando las curvas y=x^2+1 y y=x+3 alrededor del eje x utilizando el método de las arandelas. Incluye una explicación detallada de los pasos, como la intersección de funciones y la integración. Ideal para estudiantes de cálculo universitario.

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