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Resuelve paso por paso , y simplifica lo 

Vamos a resolver la expresión paso a paso. La expresión es la siguiente:

\[
a^{2/3} \cdot b^{-5/7} \cdot \left( \frac{a}{b} \right)^{7/8} \cdot \frac{a^{11/24}}{b^{-23/56}}
\]

### Paso 1: Descomponer la expresión
La expresión tiene varias potencias y productos. Vamos a aplicar las propiedades de las potencias y productos de fracciones.

#### Primera parte: \( a^{2/3} \cdot b^{-5/7} \)
No hay mucho que simplificar aquí todavía. Lo dejaremos tal cual por ahora.

#### Segunda parte: \( \left( \frac{a}{b} \right)^{7/8} \)
Podemos aplicar la propiedad de potencias de fracciones:

\[
\left( \frac{a}{b} \right)^{7/8} = \frac{a^{7/8}}{b^{7/8}}
\]

#### Tercera parte: \( \frac{a^{11/24}}{b^{-23/56}} \)
Esta fracción ya está expresada con potencias. También lo dejaremos así por el momento.

### Paso 2: Reescribir toda la expresión
Reuniendo todo lo que tenemos hasta ahora:

\[
a^{2/3} \cdot b^{-5/7} \cdot \frac{a^{7/8}}{b^{7/8}} \cdot \frac{a^{11/24}}{b^{-23/56}}
\]

### Paso 3: Agrupar las potencias de \(a\) y \(b\)
Ahora agrupamos las potencias de \(a\) y las de \(b\) por separado.

Para \(a\):

\[
a^{2/3} \cdot a^{7/8} \cdot a^{11/24}
\]

Para \(b\):

\[
b^{-5/7} \cdot b^{-7/8} \cdot b^{23/56}
\]

### Paso 4: Sumar los exponentes
Ahora sumamos los exponentes de \(a\) y de \(b\) por separado.

#### Para \(a\):
Tenemos que sumar las fracciones \( \frac{2}{3} \), \( \frac{7}{8} \) y \( \frac{11}{24} \). Vamos a calcular el mínimo común denominador (MCD), que es 24.

\[
\frac{2}{3} = \frac{16}{24}, \quad \frac{7}{8} = \frac{21}{24}, \quad \frac{11}{24} = \frac{11}{24}
\]

Sumamos:

\[
\frac{16}{24} + \frac{21}{24} + \frac{11}{24} = \frac{48}{24} = 2
\]

Entonces, la expresión para \(a\) se simplifica a:

\[
a^2
\]

#### Para \(b\):
Tenemos que sumar las fracciones \( -\frac{5}{7} \), \( -\frac{7}{8} \) y \( \frac{23}{56} \). Vamos a calcular el mínimo común denominador (MCD), que es 56.

\[
-\frac{5}{7} = -\frac{40}{56}, \quad -\frac{7}{8} = -\frac{49}{56}, \quad \frac{23}{56} = \frac{23}{56}
\]

Sumamos:

\[
-\frac{40}{56} - \frac{49}{56} + \frac{23}{56} = -\frac{66}{56} = -\frac{33}{28}
\]

Entonces, la expresión para \(b\) se simplifica a:

\[
b^{-33/28}
\]

### Paso 5: Expresión final simplificada
La expresión final es:

\[
a^2 \cdot b^{-33/28}
\]

Esto es lo más simplificado que se puede lograr.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se manejan exponentes fraccionarios?
2. ¿Qué son las propiedades de potencias para fracciones?
3. ¿Cómo se suman fracciones con diferentes denominadores?
4. ¿Cuándo una potencia negativa afecta el resultado final?
5. ¿Cómo se pueden combinar términos con diferentes bases?

**Tip**: Al simplificar exponentes con bases comunes, siempre suma o resta los exponentes, asegurándote de encontrar un denominador común si son fracciones.

Learn how to simplify the expression involving fractional exponents step by step. The solution includes applying exponent rules and simplifying powers of both a and b. Suitable for high school students in grades 10-12.

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