Dados los conjuntos: 
"A= " {"x | x ∈ N,4 < x < 16" }" y  B= " {"x | x = 3n - 1,n ∈ N,   0 < n < 7" }
N conjunto de los números naturales
	Determine por Extensión cada conjunto.
	Encuentre la relación "R= " {"(x ,y) ∈ A x B | y = 3x - 2 " }
	Muestre el dominio, codominio y rango de la relación.


Primero, desarrollemos cada conjunto por extensión:

### Conjunto A:
Dado \( A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 4 < x < 16\} \), esto significa que \( x \) es un número natural mayor que 4 y menor que 16. Los números naturales en ese rango son:
\[
A = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}
\]

### Conjunto B:
Dado \( B = \{x \mid x = 3n - 1, n \in \mathbb{N}, 0 < n < 7\} \), esto significa que \( x \) es el resultado de la expresión \( 3n - 1 \) para valores de \( n \) naturales que están entre 1 y 6 (excluyendo 0).

- Para \( n = 1 \), \( x = 3(1) - 1 = 2 \)
- Para \( n = 2 \), \( x = 3(2) - 1 = 5 \)
- Para \( n = 3 \), \( x = 3(3) - 1 = 8 \)
- Para \( n = 4 \), \( x = 3(4) - 1 = 11 \)
- Para \( n = 5 \), \( x = 3(5) - 1 = 14 \)
- Para \( n = 6 \), \( x = 3(6) - 1 = 17 \)

Por lo tanto, el conjunto \( B \) es:
\[
B = \{2, 5, 8, 11, 14, 17\}
\]

### Relación \( R \):
La relación \( R = \{(x, y) \in A \times B \mid y = 3x - 2\} \) indica que debemos buscar pares \( (x, y) \) donde \( x \in A \) y \( y \in B \), cumpliendo que \( y = 3x - 2 \).

Evaluamos los elementos de \( A \) para verificar si existe algún \( y \in B \) que cumpla la condición.

- Para \( x = 5 \), \( y = 3(5) - 2 = 13 \) (no está en \( B \))
- Para \( x = 6 \), \( y = 3(6) - 2 = 16 \) (no está en \( B \))
- Para \( x = 7 \), \( y = 3(7) - 2 = 19 \) (no está en \( B \))
- Para \( x = 8 \), \( y = 3(8) - 2 = 22 \) (no está en \( B \))
- Para \( x = 9 \), \( y = 3(9) - 2 = 25 \) (no está en \( B \))
- Para \( x = 10 \), \( y = 3(10) - 2 = 28 \) (no está en \( B \))
- Para \( x = 11 \), \( y = 3(11) - 2 = 31 \) (no está en \( B \))
- Para \( x = 12 \), \( y = 3(12) - 2 = 34 \) (no está en \( B \))
- Para \( x = 13 \), \( y = 3(13) - 2 = 37 \) (no está en \( B \))
- Para \( x = 14 \), \( y = 3(14) - 2 = 40 \) (no está en \( B \))
- Para \( x = 15 \), \( y = 3(15) - 2 = 43 \) (no está en \( B \))

En este caso, no hay ningún valor de \( x \in A \) que cumpla la relación con \( y \in B \). Por lo tanto, la relación \( R \) está vacía.

\[
R = \emptyset
\]

### Dominio, codominio y rango de la relación:
- **Dominio**: El dominio de la relación sería el conjunto \( A \), pero dado que no hay elementos que cumplan la relación, el dominio es vacío. 
  \[
  \text{Dominio} = \emptyset
  \]
- **Codominio**: El codominio es el conjunto \( B \), ya que \( R \subseteq A \times B \).
  \[
  \text{Codominio} = B = \{2, 5, 8, 11, 14, 17\}
  \]
- **Rango**: El rango es el conjunto de valores de \( y \) que efectivamente están relacionados con algún \( x \), pero dado que no existen tales valores, el rango también es vacío.
  \[
  \text{Rango} = \emptyset
  \]

### Resumen:
- **Conjunto \( A \)**: \( \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\} \)
- **Conjunto \( B \)**: \( \{2, 5, 8, 11, 14, 17\} \)
- **Relación \( R \)**: \( \emptyset \) (no hay elementos que cumplan la relación)
- **Dominio**: \( \emptyset \)
- **Codominio**: \( \{2, 5, 8, 11, 14, 17\} \)
- **Rango**: \( \emptyset \)

¿Te gustaría más detalles sobre algún punto?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se construyen los productos cartesianos entre dos conjuntos?
2. ¿Qué tipo de relación es una función vacía?
3. ¿Cómo se determina el rango de una función o relación?
4. ¿Qué propiedades deben cumplirse para que una relación sea una función?
5. ¿Qué aplicaciones tienen las relaciones en matemáticas discretas?

### Tip:
Cuando determines el rango de una relación, asegúrate de que los valores de \( y \) estén efectivamente relacionados con algún valor de \( x \) en el dominio.

Dados los conjuntos: A= {"x | x ∈ N, 4 < x < 16"} y B= {"x | x = 3n - 1, n ∈ N, 0 < n < 7"} N conjunto de los números naturales Determine por Extensión cada conjunto. Encuentre la relación R= {(x ,y) ∈ A x B | y = 3x - 2} Muestre el dominio, codominio y rango de la relación.

Explore the step-by-step solution to a set theory problem involving the sets A and B, where A contains natural numbers between 5 and 15, and B is defined by a linear formula. The task includes finding the extension of each set, analyzing the relation R = {(x, y) ∈ A x B | y = 3x - 2}, and determining the domain, codomain, and range. Ideal for students in grades 10-12 learning about relations and set theory.

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