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Puedes resolver los ejercicios completamente, es decir con sus procedimientos completos

Voy a resolver los ejercicios de tu tarea de álgebra paso a paso. Comenzaré con el primer ejercicio y seguiré con los demás. 

### Ejercicio 1: Sucesiones geométricas
Encuentra la razón común y escribe los cuatro primeros términos.

#### a) \(3^n\)
Esta es una sucesión geométrica donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por la razón común, que es 3.

- Términos:
  - \(a_1 = 3^1 = 3\)
  - \(a_2 = 3^2 = 9\)
  - \(a_3 = 3^3 = 27\)
  - \(a_4 = 3^4 = 81\)

La razón común es 3, y los primeros cuatro términos son 3, 9, 27, y 81.

#### b) \((-5)^n\)
Esta sucesión también es geométrica con una razón común de \(-5\).

- Términos:
  - \(a_1 = (-5)^1 = -5\)
  - \(a_2 = (-5)^2 = 25\)
  - \(a_3 = (-5)^3 = -125\)
  - \(a_4 = (-5)^4 = 625\)

La razón común es \(-5\), y los primeros cuatro términos son -5, 25, -125, y 625.

#### c) \(-3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\)
Aquí, la razón común es \(\frac{1}{2}\).

- Términos:
  - \(a_1 = -3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = -\frac{3}{2}\)
  - \(a_2 = -3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{3}{4}\)
  - \(a_3 = -3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{3}{8}\)
  - \(a_4 = -3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = -\frac{3}{16}\)

La razón común es \(\frac{1}{2}\), y los primeros cuatro términos son \(-\frac{3}{2}\), \(-\frac{3}{4}\), \(-\frac{3}{8}\), y \(-\frac{3}{16}\).

### Ejercicio 2: Identificación de sucesiones
Determine si las sucesiones son geométricas, aritméticas o ninguna de las dos.

#### a) \(2^n - 5\)
Esta no es ni aritmética ni geométrica, ya que los términos no tienen una diferencia constante ni una razón común constante.

#### b) 1, 3, 6, 10, ...
Esta es una sucesión aritmética, con una diferencia común de 2, 3, 4, etc. Es la sucesión de números triangulares.

#### c) \(4n^2\)
Esta sucesión no es geométrica ni aritmética; es cuadrática, por lo que los términos aumentan en función del cuadrado de \(n\).

#### d) 2, 4, 6, 8, ...
Esta es una sucesión aritmética con una diferencia constante de 2.

#### e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Esta es la sucesión de Fibonacci, y no es ni geométrica ni aritmética.

### Ejercicio 3: Términos específicos y suma de una sucesión geométrica
Encuentra el quinto y séptimo término, y la suma de los primeros 7 términos.

#### a) \(a = 2\), \(r = 3\)
- \(a_5 = a \cdot r^{4} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162\)
- \(a_7 = a \cdot r^{6} = 2 \cdot 3^6 = 2 \cdot 729 = 1458\)
- Suma \(S_7 = a \cdot \frac{r^7 - 1}{r - 1} = 2 \cdot \frac{3^7 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{2187 - 1}{2} = 2 \cdot 1093 = 2186\)

#### b) \(a = -2\), \(r = 4\)
- \(a_5 = -2 \cdot 4^4 = -2 \cdot 256 = -512\)
- \(a_7 = -2 \cdot 4^6 = -2 \cdot 4096 = -8192\)
- Suma \(S_7 = -2 \cdot \frac{4^7 - 1}{4 - 1} = -2 \cdot \frac{16384 - 1}{3} = -2 \cdot 5461 = -10922\)

#### c) \(a = 5\), \(r = -1\)
- \(a_5 = 5 \cdot (-1)^4 = 5\)
- \(a_7 = 5 \cdot (-1)^6 = 5\)
- Suma \(S_7 = 5 \cdot \frac{(-1)^7 - 1}{-2} = 5 \cdot \frac{-1 - 1}{-2} = 5\)

#### d) \(a = 6\), \(r = -2\)
- \(a_5 = 6 \cdot (-2)^4 = 6 \cdot 16 = 96\)
- \(a_7 = 6 \cdot (-2)^6 = 6 \cdot 64 = 384\)
- Suma \(S_7 = 6 \cdot \frac{(-2)^7 - 1}{-3} = 6 \cdot \frac{-128 - 1}{-3} = 6 \cdot 43 = 258\)

Voy a continuar resolviendo los ejercicios restantes si lo deseas.

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo identificar una sucesión geométrica a partir de su expresión general?
2. ¿Cuál es la fórmula para la suma de una sucesión geométrica?
3. ¿Cómo se determinan los primeros términos de una sucesión aritmética?
4. ¿Qué propiedades distinguen a las sucesiones geométricas de las aritméticas?
5. ¿Cómo se utilizan las sucesiones en problemas de combinatoria?

### Tip:
Para resolver problemas de sucesiones geométricas, recuerda siempre identificar primero la razón común, ya que es clave para encontrar términos específicos y calcular sumas de la serie.

¿Puedes resolver los ejercicios completamente, es decir con sus procedimientos completos?

This page provides detailed, step-by-step solutions to algebra problems involving geometric and arithmetic sequences. Topics covered include finding the common ratio, determining sequence types, calculating specific terms, and solving combinatorial problems. Suitable for Grades 9-11.

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