Traza segmento formado por A(-5,1) y B (-1,-6)

¿Cuantos puntos se necesitan para dividir el segmento AB en tres partes iguales?
¿Cual sera la razon de division correspondiente a cada uno de los puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales? (procediemiento detallado)
calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento Ab en tres paartes iguales

### Trazado del segmento AB
El segmento AB está definido por los puntos \( A(-5, 1) \) y \( B(-1, -6) \). Podemos imaginarnos este segmento en un plano cartesiano, con \( A \) en el cuadrante superior izquierdo y \( B \) en el cuadrante inferior izquierdo. 

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### División del segmento AB en tres partes iguales
Para dividir el segmento en tres partes iguales, necesitamos **dos puntos**. Estos puntos dividen el segmento en tres partes de la misma longitud.

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### Razón de división de cada punto
La razón de división correspondiente para cada uno de los puntos que dividen el segmento en tres partes iguales es de **1:2** y **2:1**. Esto significa que cada uno de estos puntos divide el segmento de tal manera que la proporción de las distancias entre los puntos es 1:2 y 2:1.

Para encontrar las coordenadas de estos puntos, utilizamos la **fórmula del punto de división**. Para un punto que divide un segmento entre \( A(x_1, y_1) \) y \( B(x_2, y_2) \) en una razón \( m:n \), las coordenadas del punto son:

\[
P(x, y) = \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n} \right)
\]

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### Cálculo de las coordenadas de los puntos de división

1. **Primer punto de división (Razón 1:2):**
   Aplicamos la fórmula para \( m = 1 \) y \( n = 2 \):

   \[
   P_1(x, y) = \left( \frac{1(-1) + 2(-5)}{1+2}, \frac{1(-6) + 2(1)}{1+2} \right)
   \]
   
   Calculando:

   \[
   P_1(x, y) = \left( \frac{-1 - 10}{3}, \frac{-6 + 2}{3} \right) = \left( \frac{-11}{3}, \frac{-4}{3} \right)
   \]
   
   Entonces, las coordenadas del primer punto de división son \( P_1 \left( -\frac{11}{3}, -\frac{4}{3} \right) \).

2. **Segundo punto de división (Razón 2:1):**
   Ahora aplicamos la fórmula para \( m = 2 \) y \( n = 1 \):

   \[
   P_2(x, y) = \left( \frac{2(-1) + 1(-5)}{2+1}, \frac{2(-6) + 1(1)}{2+1} \right)
   \]
   
   Calculando:

   \[
   P_2(x, y) = \left( \frac{-2 - 5}{3}, \frac{-12 + 1}{3} \right) = \left( \frac{-7}{3}, \frac{-11}{3} \right)
   \]
   
   Entonces, las coordenadas del segundo punto de división son \( P_2 \left( -\frac{7}{3}, -\frac{11}{3} \right) \).

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### Resumen
- Los puntos necesarios para dividir el segmento en tres partes iguales son **dos**.
- Las razones de división son **1:2** y **2:1**.
- Las coordenadas de los puntos de división son:
  - Primer punto: \( P_1 \left( -\frac{11}{3}, -\frac{4}{3} \right) \)
  - Segundo punto: \( P_2 \left( -\frac{7}{3}, -\frac{11}{3} \right) \)

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se puede generalizar la fórmula de la división para diferentes números de partes?
2. ¿Cómo se interpreta geométricamente la razón de división 1:2 y 2:1?
3. ¿Qué sucede si intentamos dividir el segmento en partes desiguales?
4. ¿Cómo afecta la pendiente del segmento a las coordenadas de los puntos de división?
5. ¿Qué otros métodos existen para dividir un segmento en partes iguales?

**Tip**: La fórmula del punto de división es una herramienta útil no solo para la geometría en 2D, sino también para aplicaciones en álgebra vectorial.

Traza segmento formado por A(-5,1) y B(-1,-6)
¿Cuantos puntos se necesitan para dividir el segmento AB en tres partes iguales?
¿Cual sera la razon de division correspondiente a cada uno de los puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales? (procedimiento detallado)
Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales.

Learn how to divide a segment defined by points A(-5,1) and B(-1,-6) into three equal parts. This problem covers the segment division theorem and the point of division formula, providing a detailed solution with the coordinates of the division points. Suitable for Grades 9-11.

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