En cada uno de los siguientes ejercicios seleccione la respuesta correcta
a. Hallar las coordinas del punto R(x) que está a 2 3⁄ de la distancia de A(3) a B(8):
i) 11 3⁄ ii) 3 11⁄ iii) 2 11⁄ iv) 11 2

Para resolver este problema, necesitamos encontrar las coordenadas del punto \( R(x) \) que está a \( \frac{2}{3} \) de la distancia desde el punto \( A(3) \) hasta el punto \( B(8) \). Este es un problema típico de división de un segmento en una razón dada.

La fórmula para encontrar el punto que divide un segmento en una razón dada es:

\[
R(x) = A(x) + \text{razón} \times (B(x) - A(x))
\]

En este caso:

- \( A(x) = 3 \)
- \( B(x) = 8 \)
- Razón \( = \frac{2}{3} \)

Ahora, aplicamos la fórmula:

\[
R(x) = 3 + \frac{2}{3} \times (8 - 3)
\]

Calculamos paso a paso:

1. \( 8 - 3 = 5 \)
2. \( \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3} \)
3. \( R(x) = 3 + \frac{10}{3} = \frac{9}{3} + \frac{10}{3} = \frac{19}{3} \)

Por lo tanto, las coordenadas del punto \( R(x) \) son \( \frac{19}{3} \).

Ahora, revisemos las opciones dadas:

i) \( \frac{11}{3} \)  
ii) \( \frac{3}{11} \)  
iii) \( \frac{2}{11} \)  
iv) \( \frac{11}{2} \)

La respuesta correcta no está listada entre las opciones, lo cual puede indicar un error en las opciones dadas o un error de interpretación en el problema. Si hay un error en las opciones, la respuesta más cercana sería la opción i) \( \frac{11}{3} \), aunque esta no es exacta.

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se aplican estas fórmulas en un plano de coordenadas?
2. ¿Qué sucede si la razón cambia a \( \frac{1}{2} \)?
3. ¿Cómo se resolvería si las coordenadas fueran en dos dimensiones (por ejemplo, \( A(3, 2) \) y \( B(8, 6) \))?
4. ¿Cómo se interpreta la razón \( \frac{2}{3} \) geométricamente?
5. ¿Cómo afecta la ubicación de \( R \) si \( A \) y \( B \) están en diferentes cuadrantes?

**Tip:** Recuerda que para dividir un segmento en una razón dada, siempre se puede usar la fórmula general de división de segmentos para asegurar una solución precisa.

Learn how to find the coordinates of point R(x) that divides the segment from point A(3) to point B(8) in the ratio 2:3. This problem involves using the segment division formula in coordinate geometry. Suitable for high school students studying geometry and ratios.

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