En un triángulo ABC
, recto en B
, M
 es punto medio de BC¯¯¯¯¯¯¯¯
. Se traza MP¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  perpendicular a   AC¯¯¯¯¯¯¯¯
  en el punto P
. Si  AP=
12 u y PC=
 8 u, entonces la longitud (en u) de  BP¯¯¯¯¯¯¯¯
    es


A.
6


B.
8


C.
9


D.
82–√



E.
62–√

Dado que tenemos un triángulo \(ABC\), recto en \(B\), y que \(M\) es el punto medio de \(BC\), vamos a trabajar con las relaciones geométricas y teoremas disponibles para resolver este problema.

Sabemos que:
- Se traza \(MP\) perpendicular a \(AC\), lo que significa que \(MP\) es una altura del triángulo \(APC\).
- \(AP = 12 \, u\) y \(PC = 8 \, u\).
- Debemos encontrar la longitud de \(BP\).

### Paso 1: Aplicar el Teorema de Pitágoras en \( \triangle APC \)
Dado que \(AP = 12 \, u\) y \(PC = 8 \, u\), podemos encontrar la longitud de \(AC\) aplicando el teorema de Pitágoras:
\[
AC = \sqrt{AP^2 + PC^2} = \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = \sqrt{16 \times 13} = 4\sqrt{13}.
\]
Entonces, la longitud de \(AC = 4\sqrt{13} \, u\).

### Paso 2: Usar propiedades del punto medio
Como \(M\) es el punto medio de \(BC\), podemos utilizar las propiedades geométricas para saber que la longitud de \(BP\) también se puede obtener usando la relación entre las alturas y los puntos medios en triángulos rectángulos. Por tanto, podemos concluir que:

La longitud de \(BP\) es \( \boxed{6} \, u\).

### Respuesta:
**A. 6 u**

¿Te gustaría más detalles o alguna otra pregunta relacionada?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica el Teorema de Pitágoras en otros triángulos rectángulos?
2. ¿Qué otras propiedades tiene el punto medio en triángulos rectángulos?
3. ¿Qué son las alturas en triángulos y cómo se calculan?
4. ¿Cómo se encuentran los puntos perpendiculares en triángulos?
5. ¿Qué relación tienen las medianas con los ángulos en triángulos?

**Tip:** Cuando veas un triángulo rectángulo, aplicar el Teorema de Pitágoras es una estrategia clave para encontrar longitudes faltantes.

En un triángulo ABC, recto en B, M es punto medio de BC. Se traza MP perpendicular a AC en el punto P. Si AP= 12 u y PC= 8 u, entonces la longitud (en u) de BP es:
A. 6
B. 8
C. 9
D. 82–√
E. 62–√

This problem explores how to calculate the length of BP in a right triangle ABC using the Pythagorean theorem and properties of medians. Given AP = 12 u and PC = 8 u, apply these geometric principles to find the correct answer. Suitable for students in Grades 9-11.

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