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El problema plantea lo siguiente:

Si \( a - b = 3 \) y \( ab = 2 \), halla el valor de \( a^4 + b^4 \).

Vamos a resolver este paso a paso:

1. Sabemos que \( a - b = 3 \) y \( ab = 2 \). Queremos encontrar \( a^4 + b^4 \).
2. Para resolver esto, utilizamos las identidades de potencias. Primero, recordamos que:
   \[
   a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab
   \]
   Sustituimos \( a - b = 3 \) y \( ab = 2 \):
   \[
   a^2 + b^2 = (3)^2 + 2(2) = 9 + 4 = 13
   \]
3. Luego, para hallar \( a^4 + b^4 \), usamos la identidad:
   \[
   a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(a^2b^2)
   \]
   Ya tenemos \( a^2 + b^2 = 13 \), pero ahora necesitamos \( a^2b^2 \). Como \( ab = 2 \), se tiene:
   \[
   a^2b^2 = (ab)^2 = 2^2 = 4
   \]
4. Ahora sustituimos los valores:
   \[
   a^4 + b^4 = (13)^2 - 2(4) = 169 - 8 = 161
   \]

Por lo tanto, el valor de \( a^4 + b^4 \) es **161**, que corresponde a la opción **B)**.

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna otra duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva la fórmula para \( a^2 + b^2 \)?
2. ¿Qué otras identidades se pueden usar para expresiones como \( a^4 + b^4 \)?
3. ¿Cómo se resuelven ecuaciones cuando se conoce la suma y el producto de dos números?
4. ¿Cuál es la utilidad de las identidades algebraicas en problemas de potencias?
5. ¿Cómo se puede verificar el resultado final sin resolver todo el problema desde el inicio?

### Tip:
Cuando tengas productos y diferencias entre variables, las identidades algebraicas son herramientas clave para resolver potencias sin conocer directamente los valores de las variables.

Si a - b = 3 y ab = 2, halla el valor de a^4 + b^4.

Este problema algebraico muestra cómo resolver el valor de a^4 + b^4 utilizando identidades notables. Siguiendo paso a paso, exploramos las fórmulas para a^2 + b^2 y aplicamos las potencias. Apto para estudiantes de secundaria avanzada (Grades 9-12).

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